The dílčí zlomky jsou zlomky tvořené polynomy, ve kterých jmenovatelem může být lineární nebo kvadratický polynom a navíc ho lze povýšit na nějakou mocninu. Někdy, když máme racionální funkce, je velmi užitečné přepsat tuto funkci jako součet dílčích zlomků nebo jednoduchých zlomků..
Je tomu tak proto, že tímto způsobem můžeme s těmito funkcemi manipulovat lepším způsobem, zejména v případech, kdy je nutné danou aplikaci integrovat. Racionální funkce je jednoduše kvocient mezi dvěma polynomy a mohou být správné nebo nesprávné.
Pokud je stupeň polynomu čitatele menší než jmenovatel, nazývá se to racionální vlastní funkce; jinak je známá jako nesprávná racionální funkce.
Rejstřík článků
Když máme nesprávnou racionální funkci, můžeme rozdělit polynom čitatele polynomem jmenovatele a přepsat tak zlomek p (x) / q (x) podle algoritmu dělení jako t (x) + s (x ) / q (x), kde t (x) je polynom a s (x) / q (x) je správná racionální funkce.
Dílčí zlomek je jakákoli správná funkce polynomů, jejichž jmenovatel má tvar (ax + b)n o (sekeradva+ bx + c)n, pokud je polynomiální osadva + bx + c nemá skutečné kořeny a n je přirozené číslo.
Aby bylo možné přepsat racionální funkci v parciálních zlomcích, je třeba nejdříve vytvořit faktor jmenovatele q (x) jako součin lineárních a / nebo kvadratických faktorů. Jakmile je to provedeno, pokračujeme v určování dílčích zlomků, které závisí na povaze těchto faktorů..
Několik případů zvažujeme samostatně.
Faktory q (x) jsou lineární a žádný se neopakuje. A to:
q (x) = (a1x + b1) (dodvax + bdva)… (Do.)sx + bs)
Žádný lineární faktor není totožný s jiným. Když nastane tento případ, napíšeme:
p (x) / q (x) = A1/(na1x + b1) + A.dva/(nadvax + bdva)… + As/(nasx + bs).
Kam1,NAdva,…, TOs jsou konstanty, které chcete najít.
Chceme rozložit racionální funkci na jednoduché zlomky:
(x - 1) / (x3+3xdva+2x)
Pokračujeme k faktoru jmenovatele, to znamená:
X3 + 3xdva + 2x = x (x + 1) (x + 2)
Později:
(x - 1) / (x3+3xdva+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)
Při použití nejméně společného násobku lze získat, že:
x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.
Chceme získat hodnoty konstant A, B a C, které lze najít nahrazením kořenů, které ruší každý z termínů. Dosazením 0 za x máme:
0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.
- 1 = 2A
A = - 1/2.
Nahrazení - 1 za x máme:
- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).
- 2 = - B
B = 2.
Nahrazení - 2 za x máme:
- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).
-3 = 2C
C = -3/2.
Tímto způsobem se získají hodnoty A = -1/2, B = 2 a C = -3/2.
Existuje další metoda pro získání hodnot A, B a C. Pokud na pravé straně rovnice x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kombinujeme termíny, máme:
x - 1 = (A + B + C) xdva + (3A + 2B + C) x + 2A.
Protože se jedná o rovnost polynomů, máme, že koeficienty na levé straně musí být stejné jako koeficienty na pravé straně. Výsledkem je následující systém rovnic:
A + B + C = 0
3A + 2B + C = 1
2A = - 1
Při řešení tohoto systému rovnic získáme výsledky A = -1/2, B = 2 a C = -3/2.
Nakonec dosazením získaných hodnot máme, že:
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).
Faktory q (x) jsou lineární a některé se opakují. Předpokládejme, že (ax + b) je faktor, který opakuje časy „s“; pak tomuto faktoru odpovídá součet dílčích zlomků „s“.
NAs/ (sekera + b)s + NAs-1/ (sekera + b)s-1 +… + A1/ (sekera + b).
Kde je As,NAs-1,…, TO1 jsou konstanty, které se mají určit. V následujícím příkladu si ukážeme, jak tyto konstanty určit.
Rozkládejte se na částečné zlomky:
(x - 1) / (xdva(x - 2)3)
Racionální funkci zapíšeme jako součet dílčích zlomků následovně:
(x - 1) / (xdva(x - 2)3) = A / xdva + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)dva + E / (x - 2).
Později:
x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cxdva + D (x - 2) xdva + E (x - 2)dvaXdva
Dosazením 2 za x máme toto:
7 = 4C, tj. C = 7/4.
Dosazením 0 za x máme:
- 1 = -8A nebo A = 1/8.
Dosazením těchto hodnot do předchozí rovnice a vývojem máme toto:
x - 1 = 1/8 (x3 - 6xdva + 12x - 8) + Bx (x3 - 6xdva + 12x - 8) + 7 / 4xdva +Dx3 - 2Dxdva + Bývalýdva(Xdva - 4x + 4)
x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) xdva +(3/2 - 8B) x - 1.
Rovnicí koeficientů získáme následující soustavu rovnic:
B + E = 0;
1 / 8-6B + D-4E = 1;
- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0
3/2 - 8B = 0.
Při řešení systému máme:
B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.
K tomu musíme:
(x - 1) / (xdva(x - 2)3) = (1/8) / xdva + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)dva - (3/16) / (x - 2).
Faktory q (x) jsou lineární kvadratické, bez jakýchkoli opakovaných kvadratických faktorů. V tomto případě kvadratický faktor (axdva + bx + c) bude odpovídat částečnému zlomku (Ax + B) / (axdva + bx + c), kde konstanty A a B jsou ty, které chceme určit.
Následující příklad ukazuje, jak v tomto případě postupovat
Rozložte se na jednoduché zlomky a (x + 1) / (x3 - 1).
Nejprve přistoupíme k faktoru jmenovatele, který nám jako výsledek dá:
(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).
Můžeme to pozorovat (xdva + x + 1) je neredukovatelný kvadratický polynom; to znamená, že nemá skutečné kořeny. Jeho rozklad na dílčí zlomky bude následující:
(x + 1) / (x - 1) (xdva + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (xdva + x +1)
Z toho získáme následující rovnici:
x + 1 = (A + B) xdva +(A - B + C) x + (A - C)
Pomocí rovnosti polynomů získáme následující systém:
A + B = 0;
AB + C = 1;
A-C = 1;
Z tohoto systému máme A = 2/3, B = - 2/3 a C = 1/3. Nahrazením máme toto:
(x + 1) / (x - 1) (xdva + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (xdva + x +1).
Nakonec je případ 4 ten, ve kterém jsou faktory q (x) lineární a kvadratické, kde se opakují některé z lineárních kvadratických faktorů.
V tomto případě if (axdva + bx + c) je kvadratický faktor, který opakuje časy „s“, takže dílčí zlomek odpovídající faktoru (axdva + bx + c) bude:
(NA1x + B) / (osadva + bx + c) +… + (A.s-1x + Bs-1) / (sekeradva + bx + c)s-1 + (NAsx + Bs) / (sekeradva + bx + c)s
Kde je As, NAs-1,…, A a B.s, Bs-1,..., B jsou konstanty, které se mají určit.
Chceme rozložit následující racionální funkci na dílčí zlomky:
(x - 2) / (x (x.)dva - 4x + 5)dva)
Jako xdva - 4x + 5 je neredukovatelný kvadratický faktor, jeho rozklad na parciální zlomky je dán vztahem:
(x - 2) / (x (x.)dva - 4x + 5)dva) = A / x + (Bx + C) / (xdva - 4x +5) + (Dx + E) / (xdva - 4x + 5)dva
Zjednodušení a vývoj nám zbývá:
x - 2 = A (xdva - 4x + 5)dva + (Bx + C) (xdva - 4x + 5) x + (Dx + E) x
x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) xdva + (- 40 A + 5 C + E) x + 25 A..
Z výše uvedeného máme následující systém rovnic:
A + B = 0;
- 8A - 4B + C = 0;
26A + 5B - 4C + D = 0;
- 40A + 5C + E = 1;
25A = 2.
Při řešení systému nám zbývá:
A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 a E = - 3/5.
Nahrazením získaných hodnot máme:
(x - 2) / (x (x.)dva - 4x + 5)dva) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (xdva - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (xdva - 4x + 5)dva
Parciální zlomky se používají především pro studium integrálního počtu. Dále uvidíme několik příkladů, jak provádět integrály pomocí částečných zlomků.
Chceme vypočítat integrál:
Vidíme, že jmenovatel q (x) = (t + 2)dva(t + 1) se skládá z lineárních faktorů, kde se jeden z nich opakuje; proto jsme v případě 2.
Musíme:
1 / (t + 2)dva(t + 1) = A / (t + 2)dva +B / (t + 2) + C / (t + 1)
Přepíšeme rovnici a máme:
1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)dva
Pokud t = - 1, máme:
1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)
1 = C.
Pokud t = - 2, dává nám:
1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)
A = - 1
Pak, když t = 0:
1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)
Nahrazení hodnot A a C:
1 = - 1 + 2B + 4
1 = 3 + 2B
2B = - 2
Z výše uvedeného máme B = - 1.
Přepíšeme integrál jako:
Postupujeme k jeho řešení substituční metodou:
Toto je výsledek:
Vyřešte následující integrál:
V tomto případě můžeme faktorovat na q (x) = xdva - 4 jako q (x) = (x - 2) (x + 2). Jsme jasně v případě 1. Proto:
(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)
Může být také vyjádřena jako:
5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)
Pokud x = - 2, máme:
- 12 = A (0) + B (- 4)
B = 3
A pokud x = 2:
8 = A (4) + B (0)
A = 2
Zůstane nám tedy řešení daného integrálu, který je ekvivalentní řešení:
Výsledkem je:
Vyřešte integrál:
Máme q (x) = 9x4 + Xdva , že to můžeme rozdělit na q (x) = xdva(9xdva + 1).
Tentokrát máme opakovaný lineární faktor a kvadratický faktor; to znamená, že jsme v případě 3.
Musíme:
1 / xdva(9xdva + 1) = A / xdva + B / x + (Cx + D) / (9xdva + 1)
1 = A (9xdva + 1) + Bx (9xdva + 1) + Cxdva + Dxdva
Seskupování a používání stejných polynomů máme:
1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A
A = 1;
B = 0;
9A + D = 0;
9B + C = 0
Z tohoto systému rovnic máme:
D = - 9 a C = 0
Tímto způsobem máme:
Vyřešením výše uvedeného máme:
Zajímavé použití parciálních zlomků aplikovaných na integrální počet se nachází v chemii, přesněji v zákoně hromadné akce.
Předpokládejme, že máme dvě látky, A a B, které se spojují a tvoří látku C, takže derivace množství C vzhledem k času je úměrná součinu množství A a B v daném čase.
Zákon hromadné akce můžeme vyjádřit následovně:
V tomto výrazu α je počáteční počet gramů odpovídající A a β počáteční počet gramů odpovídající B.
Dále r a s představují počet gramů A a B, které se spojí a vytvoří r + s gramů C. Pro svou část x představuje počet gramů látky C v čase t a K je konstanta proporcionality . Výše uvedenou rovnici můžeme přepsat jako:
Provedení následující změny:
Máme, že rovnice se stane:
Z tohoto výrazu můžeme získat:
Kde, pokud a ≠ b, lze pro integraci použít částečné zlomky.
Vezměme si například látku C, která vzniká spojením látky A s B takovým způsobem, že je splněn hmotnostní zákon, kde hodnoty a a b jsou 8, respektive 6. Uveďte rovnici, která nám dá hodnotu gramů C jako funkci času.
Dosazením hodnot v daném hmotnostním zákoně máme:
Při oddělování proměnných máme:
Zde 1 / (8 - x) (6 - x) lze zapsat jako součet dílčích zlomků, a to následovně:
1 = A (6 - x) + B (8 - x)
Pokud dosadíme x za 6, máme B = 1/2; a dosazením 8 za x máme A = - 1/2.
Integraci částečnými zlomky máme:
Výsledkem je:
Další aplikací, kterou lze podat částečným zlomkům, je logistická diferenciální rovnice. V jednoduchých modelech máme, že rychlost růstu populace je úměrná její velikosti; a to:
Tento případ je ideální a je považován za realistický, dokud se nestane, že zdroje dostupné v systému nejsou dostatečné pro podporu populace..
V těchto situacích je nejrozumnější myslet si, že existuje maximální kapacita, kterou budeme nazývat L, kterou systém dokáže udržet a že tempo růstu je úměrné velikosti populace vynásobené dostupnou velikostí. Tento argument vede k následující diferenciální rovnici:
Tento výraz se nazývá logistická diferenciální rovnice. Jedná se o oddělitelnou diferenciální rovnici, kterou lze vyřešit metodou integrace částečných zlomků.
Příkladem je uvažování o populaci, která roste podle následující logistické diferenciální rovnice y '= 0,0004y (1000 - y), jejíž počáteční data jsou 400. Chceme znát velikost populace v čase t = 2, kde t se měří v letech.
Pokud napíšeme y 's Leibnizovou notací jako funkci, která závisí na t, máme:
Integrál na levé straně lze vyřešit pomocí metody integrace částečných zlomků:
Tuto poslední rovnost můžeme přepsat takto:
- Dosazením y = 0 máme, že A se rovná 1/1000.
- Dosazením y = 1000 máme, že B se rovná 1/1000.
S těmito hodnotami je integrál následující:
Řešením je:
Použití počátečních dat:
Při clearingu máme:
Pak to máme při t = 2:
Závěrem lze říci, že po 2 letech je velikost populace přibližně 597,37.
Zatím žádné komentáře