The homoscedasticity v prediktivním statistickém modelu dochází, pokud ve všech datových skupinách jednoho nebo více pozorování zůstane rozptyl modelu s ohledem na vysvětlující (nebo nezávislé) proměnné konstantní.
Regresní model může být homoscedastický nebo ne, v takovém případě mluvíme o heteroscedasticita.
Statistický regresní model několika nezávislých proměnných se nazývá homoscedastický, pouze pokud rozptyl chyby předpovězené proměnné (nebo směrodatná odchylka závislé proměnné) zůstává jednotný pro různé skupiny hodnot vysvětlujících nebo nezávislých proměnných.
V pěti datových skupinách na obrázku 1 byla vypočtena odchylka v každé skupině s ohledem na hodnotu odhadnutou regresí, což mělo za následek stejné v každé skupině. Dále se předpokládá, že data sledují normální rozdělení.
Na grafické úrovni to znamená, že body jsou stejně rozptýleny nebo rozptýleny kolem hodnoty předpovězené regresním přizpůsobením a že regresní model má stejnou chybu a platnost pro rozsah vysvětlující proměnné..
Rejstřík článků
Pro ilustraci významu homoscedasticity v prediktivních statistikách je nutné kontrastovat s opačným jevem, heteroscedasticitou.
V případě obrázku 1, na kterém je homoscedasticita, platí, že:
Var ((y1-Y1); X1) ≈ Var ((y2-Y2); X2) ≈ ... Var ((y4-Y4); X4)
Kde Var ((yi-Yi); Xi) představuje rozptyl, dvojice (xi, yi) představuje data ze skupiny i, zatímco Yi je hodnota predikovaná regresí pro střední hodnotu Xi skupiny. Rozptyl dat n ze skupiny i se vypočítá takto:
Var ((yi-Yi); Xi) = ∑j (yij - Yi) ^ 2 / n
Naopak, když dojde k heteroscedasticitě, nemusí být regresní model platný pro celou oblast, ve které byl vypočítán. Obrázek 2 ukazuje příklad této situace.
Obrázek 2 představuje tři skupiny dat a přizpůsobení sady pomocí lineární regrese. Je třeba poznamenat, že údaje ve druhé a třetí skupině jsou rozptýlenější než v první skupině. Graf na obrázku 2 také ukazuje střední hodnotu každé skupiny a její chybovou lištu ± σ, se směrodatnou odchylkou σ každé skupiny dat. Je třeba si uvědomit, že směrodatná odchylka σ je druhá odmocnina rozptylu.
Je zřejmé, že v případě heteroscedasticity se chyba odhadu regrese mění v rozsahu hodnot vysvětlující nebo nezávislé proměnné a v intervalech, kde je tato chyba velmi velká, je predikce regrese nespolehlivá nebo nepoužitelná.
V regresním modelu musí být chyby nebo zbytky (a -Y) distribuovány se stejnou odchylkou (σ ^ 2) v celém intervalu hodnot nezávislé proměnné. Z tohoto důvodu musí dobrý regresní model (lineární nebo nelineární) projít testem homoscedasticity..
Body zobrazené na obrázku 3 odpovídají údajům studie, která hledá vztah mezi cenami (v dolarech) domů jako funkce velikosti nebo plochy v metrech čtverečních.
Prvním testovaným modelem je lineární regrese. Za prvé je třeba poznamenat, že koeficient determinace R ^ 2 shody je poměrně vysoký (91%), takže lze předpokládat, že shoda je uspokojivá..
Z grafu úprav však lze jasně odlišit dvě oblasti. Jeden z nich, ten vpravo uzavřený v oválu, splňuje homoscedasticitu, zatímco region vlevo nemá homoscedasticitu.
To znamená, že predikce regresního modelu je adekvátní a spolehlivá v rozsahu mezi 1 800 m 2 až 4 800 m 2, ale mimo tuto oblast je velmi nedostatečná. V heteroscedastické zóně je chyba nejen velmi velká, ale také se zdá, že data sledují jiný trend, než jaký navrhuje lineární regresní model..
Bodový graf dat je nejjednodušším a nejviditelnějším testem jejich homoscedasticity, avšak v případech, kdy to není tak zřejmé jako v příkladu na obrázku 3, je nutné uchýlit se ke grafům s pomocnými proměnnými..
Za účelem oddělení oblastí, kde je homoscedasticita splněna a kde není, jsou zavedeny standardizované proměnné ZRes a ZPred:
ZRes = Abs (y - Y) / σ
ZPred = Y / σ
Je třeba poznamenat, že tyto proměnné závisí na použitém regresním modelu, protože Y je hodnota predikce regrese. Níže je bodový graf ZRes vs ZPred pro stejný příklad:
V grafu na obrázku 4 se standardizovanými proměnnými je oblast, kde je zbytková chyba malá a uniformní, jasně oddělena od oblasti, kde není. V první zóně je splněna homoscedasticita, zatímco v oblasti, kde je zbytková chyba vysoce variabilní a velká, je splněna heteroscedasticita..
Regresní úprava se použije na stejnou skupinu dat na obrázku 3, v tomto případě je úprava nelineární, protože použitý model zahrnuje potenciální funkci. Výsledek ukazuje následující obrázek:
V grafu na obrázku 5 by měly být jasně zaznamenány homoscedastické a heteroscedastické zóny. Je třeba také poznamenat, že tyto zóny byly zaměněny s ohledem na ty, které byly vytvořeny v modelu lineárního uložení.
V grafu na obrázku 5 je zřejmé, že i když existuje poměrně vysoký koeficient stanovení shody (93,5%), model není adekvátní pro celý interval vysvětlující proměnné, protože údaje pro hodnoty větší než 2000 m ^ 2 představuje heteroscedasticitu.
Jedním z nejgrafičtějších testů nejčastěji používaných k ověření, zda je homoscedasticita splněna či nikoli, je Breusch-Paganův test.
Ne všechny podrobnosti tohoto testu budou uvedeny v tomto článku, ale jeho základní charakteristiky a kroky jsou popsány širokými tahy:
Většina statistických softwarových balíků jako: SPSS, MiniTab, R, Python Pandas, SAS, StatGraphic a několik dalších zahrnuje test homoscedasticity Breusch-Pagan. Další test k ověření jednotnosti rozptylu Leveneův test.
Zatím žádné komentáře