Charakteristiky sinusových vln, části, výpočet, příklady

The sinusové vlny Jsou to vlnové vzory, které lze matematicky popsat pomocí sínusových a kosinových funkcí. Přesně popisují přírodní události a časově proměnné signály, jako jsou napětí generovaná elektrárnami a poté použitá v domácnostech, průmyslech a ulicích.

Elektrické prvky, jako jsou rezistory, kondenzátory a indukčnosti, které jsou připojeny k sinusovým napěťovým vstupům, také produkují sinusové reakce. Matematika použitá v jeho popisu je poměrně přímočará a byla důkladně prostudována..

Matematika sinusových nebo sinusových vln, jak jsou také známé, je matematika sinusových a kosinových funkcí.

Jedná se o opakující se funkce, což znamená periodicitu. Oba mají stejný tvar, až na to, že kosinus je posunut doleva vzhledem k sinusu o čtvrt cyklu. Na obrázku 2 je vidět:

Potom cos x = sin (x + π / 2). Pomocí těchto funkcí je znázorněna sinusová vlna. K tomu je příslušná velikost umístěna na svislou osu, zatímco čas je umístěn na vodorovné ose..

Výše uvedený graf také ukazuje opakující se kvalitu těchto funkcí: vzor se opakuje nepřetržitě a pravidelně. Díky těmto funkcím je možné vyjádřit sinusové napětí a proudy měnící se v čase a umístit je na svislou osu namísto Y, A proti nebo jeden i reprezentovat napětí nebo proud a na vodorovné ose místo X, the t počasí.

Nejobecnějším způsobem vyjádření sinusové vlny je:

v (t) = v_m sen (ωt + φ)

Poté se ponoříme do významu tohoto výrazu a definujeme některé základní pojmy, abychom charakterizovali sinusovou vlnu.

Rejstřík článků

• 1 Díly
  • 1.1 Období
  • 1.2 Amplituda
  • 1.3 Cyklus
  • 1.4 Frekvence
  • 1,5 fáze
• 2 Generátor sinusových vln
  • 2.1 Uplatňování Faradayova zákona
  • 2.2 Vídeňský oscilátor
• 3 Jak vypočítat sinusové vlny?
  • 3.1 Osciloskop
• 4 příklady
  • 4.1 Příklad 1
  • 4.2 Příklad 2
• 5 Reference

Díly

Perioda, amplituda, frekvence, cyklus a fáze jsou koncepty aplikované na periodické nebo opakující se vlny a je důležité je správně charakterizovat..

Doba

Periodická funkce, jako jsou ty zmíněné, která se opakuje v pravidelných intervalech, vždy splňuje následující vlastnost:

f (t) = f (t + T) = f (t + 2T) = f (t + 3T) =… .

Kde T je volané množství vlnové období, y je čas potřebný k opakování stejné fáze. V jednotkách mezinárodního systému se období měří v sekundách.

Amplituda

Podle obecného vyjádření sinusové vlny v (t) = v_m sin (ωt + φ), v_m je maximální hodnota funkce, která nastane, když sin (ωt + φ) = 1 (pamatujeme si, že největší hodnota, kterou sínová i kosinová funkce připouští, je 1). Tato maximální hodnota je přesně amplituda vln, také známý jako maximální amplituda.

V případě napětí se bude měřit ve voltech a pokud jde o proud, bude to v ampérech. V zobrazené sinusové vlně je amplituda konstantní, ale u jiných typů vln se amplituda může měnit.

Cyklus

Je to část vlny obsažené v období. Na předchozím obrázku byla perioda pořízena měřením ze dvou po sobě jdoucích vrcholů nebo vrcholů, ale může se začít měřit z jiných bodů vlny, pokud jsou omezeny periodou.

Na následujícím obrázku je vidět, jak cyklus pokrývá z jednoho bodu do druhého se stejnou hodnotou (výškou) a stejným sklonem (sklonem).

Frekvence

Jedná se o počet cyklů, ke kterým dojde za 1 sekundu a souvisí s argumentem funkce sine: ωt. Frekvence je označena jako F a měří se v cyklech za sekundu nebo v Hz (Hz) v mezinárodním systému.

Frekvence je inverzní hodnota období, proto:

f = 1 / T.

Zatímco frekvence F je spojen s úhlová frekvence ω (pulzace), jako jsou:

ω = 2πF

Úhlová frekvence je v mezinárodním systému vyjádřena v radiánech za sekundu, ale radiány jsou bezrozměrné, takže frekvence F a úhlová frekvence ω mají stejné rozměry. Všimněte si, že produkt ωt dává radiány jako výsledek, a musí být vzaty v úvahu při použití kalkulačky k získání hodnoty sen ωt.

Fáze

Odpovídá vodorovnému posunutí, které vlna zaznamenala, s ohledem na čas považovaný za referenční.

Na následujícím obrázku je zelená vlna jednou před červenou vlnou t_d. Jsou tam dvě sinusové vlny fáze když jeho frekvence a fáze jsou stejné. Pokud se fáze liší, pak jsou v mezera. Vlny na obrázku 2 jsou také mimo fázi.

Pokud je frekvence vln jiná, budou ve fázi, kdy bude fáze ωt + φ je v určitých časech v obou vlnách stejný.

Generátor sinusových vln

Existuje mnoho způsobů, jak získat signál sinusové vlny. Poskytují je domácí zásuvky.

Faradayovo vymáhání práva

Poměrně jednoduchým způsobem, jak získat sinusový signál, je použití Faradayova zákona. To naznačuje, že v uzavřeném proudovém obvodu, například ve smyčce, umístěné uprostřed magnetického pole, je generován indukovaný proud, když se tok magnetického pole skrz něj mění v čase. V důsledku toho a indukované napětí nebo indukovaný emf.

Tok magnetického pole se mění, pokud se smyčka otáčí konstantní úhlovou rychlostí uprostřed pole vytvořeného mezi póly N a S magnetu znázorněného na obrázku..

Omezením tohoto zařízení je závislost napětí získaného s frekvencí otáčení smyčky, jak bude podrobněji vidět v příkladu 1 níže uvedené části Příklady..

Vídeňský oscilátor

Dalším způsobem, jak získat sinusovou vlnu, tentokrát s elektronikou, je Wienův oscilátor, který vyžaduje operační zesilovač ve spojení s rezistory a kondenzátory. Tímto způsobem se získají sinusové vlny, jejichž frekvenci a amplitudu může uživatel upravit podle svého pohodlí úpravou pomocí přepínačů..

Obrázek ukazuje generátor sinusového signálu, pomocí kterého lze získat i další tvary vln: mimo jiné trojúhelníkové a čtvercové..

Jak vypočítat sinusové vlny?

K provádění výpočtů zahrnujících sinusové vlny se používá vědecká kalkulačka, která má trigonometrické funkce sinus a kosinus a také jejich inverze. Tyto kalkulačky mají režimy pro práci s úhly buď ve stupních nebo v radiánech, a je snadné převádět z jedné formy na druhou. Přepočítací koeficient je:

180 ° = π radiány.

V závislosti na modelu kalkulačky musíte navigovat pomocí tlačítka MODE, abyste našli možnost DEGREE, která vám umožní pracovat s trigonometrickými funkcemi ve stupních, nebo možnost RAD, abyste mohli přímo pracovat s úhly v radiánech.

Například sin 25º = 0,4226 s kalkulačkou nastavenou na režim DEG. Převod 25 ° na radiány dává 0,4363 radiánů a sin 0,4363 rad = 0,425889 ≈ 0,4226.

Osciloskop

Osciloskop je zařízení, které umožňuje na obrazovce zobrazit přímé i střídavé napěťové a proudové signály. Má knoflíky pro nastavení velikosti signálu na mřížce, jak je znázorněno na následujícím obrázku:

Prostřednictvím obrazu poskytovaného osciloskopem a znalosti nastavení citlivosti v obou osách je možné vypočítat vlnové parametry, které byly dříve popsány..

Obrázek ukazuje sinusový napěťový signál jako funkci času, ve kterém každé rozdělení na svislé ose má hodnotu 50 milivoltů, zatímco na vodorovné ose má každé rozdělení hodnotu 10 mikrosekund.

Amplitudu špička-špička se zjistí spočítáním divizí, které vlna pokrývá svisle, pomocí červené šipky:

5 dílků se počítá pomocí červené šipky, takže špičkové napětí je:

PROTI_str = 5 dílků x 50 mV / díl = 250 mV.

Špičkové napětí PROTI_p se měří od vodorovné osy, přičemž je 125 mV.

Chcete-li najít období, změří se cyklus, například ten, který je ohraničen zelenou šipkou, která pokrývá 3,2 dílků, pak období je:

T = 3,2 dílky x 10 mikrosekund / díl = 32 mikrosekund = 32 μs

Příklady

Příklad 1

U generátoru na obr. 3 ukažte z Faradayova zákona, že indukované napětí má sinusový tvar. Předpokládejme, že smyčka se skládá z N závitů namísto pouze jednoho, všechny se stejnou oblastí A a rotuje s konstantní úhlovou rychlostí ω uprostřed magnetického pole B jednotný.

Řešení

Faradayův zákon říká, že indukovaný emf ε to je:

ε = -N (dΦ_B / dt)

Kde Φ_B je tok magnetického pole, který bude proměnný, protože záleží na tom, jak je smyčka v každém okamžiku vystavena poli. Záporné znaménko jednoduše popisuje skutečnost, že tento emf je proti příčině, která ho vytváří (Lenzův zákon). Průtok v důsledku jednoho otočení je:

Φ_B = B.A.cos θ

θ je úhel, který vektor kolmý k rovině smyčky tvoří s polem B Jak postupuje rotace (viz obrázek), tento úhel se přirozeně mění jako:

θ = ωt

Aby: Φ_B = B.A.cos θ = B.A.cos ωt. Nyní musíme tento výraz pouze odvodit s ohledem na čas a tím získáme indukovaný emf:

ε = -N.d (B.A.cos ωt) / dt

Jako pole B je uniformní a plocha smyčky se nemění, ponechávají mimo derivaci:

ε = -NBA. d (cos ωt) / dt = ωNBA. sen ωt

Příklad 2

Smyčka má plochu 0,100 m^dva a otáčí se rychlostí 60,0 ot / s, přičemž její osa otáčení je kolmá na rovnoměrné magnetické pole 0,200 T. S vědomím, že cívka má 1000 závitů, najděte: a) maximální generovaný emf, b) orientaci cívky v vztah s magnetickým polem, když nastane indukované maximum emf.

Řešení

a) Maximální emf je ε_max = ωNBA

Před výměnou hodnot je třeba přenést frekvenci 60 ot / s na jednotky mezinárodního systému. Je známo, že 1 otáčka se rovná jedné otáčce nebo 2p radiány:

60,0 ot / s = 120p radiánů / s

ε_max = 120p radiány x 1000 otáček x 0,200 T x 0,100 m^dva = 7539,82 V = 7,5 kV

b) Když nastane tato hodnota sen ωt = 1 Tím pádem:

ωt = θ = 90 °,

V takovém případě je rovina spirály rovnoběžná s B, takže vektor kolmý na uvedenou rovinu tvoří 90 ° s polem. K tomu dochází, když je černý vektor na obrázku 8 kolmý na zelený vektor, který představuje magnetické pole.

Reference

1. Boylestad, R. 2011. Úvod do analýzy obvodů. 12. Edice. Pearson. 327-376.
2. Figueroa, D. 2005. Elektromagnetismus. Fyzikální série pro vědu a techniku. Svazek 6. Upravil D. Figueroa. Univerzita Simona Bolívara. 115 a 244-245.
3. Figueroa, D. 2006. Fyzikální laboratoř 2. Redakční Equinoccio. 03-1 a 14-1.
4. Sinusové vlny. Obnoveno z: iessierradeguara.com
5. Serway, R. 2008. Fyzika pro vědu a inženýrství. Svazek 2. Cengage Learning. 881-884