A permutace bez opakování z n prvků jsou různé skupiny různých prvků, které lze získat opakováním žádného prvku, pouze změnou pořadí umístění prvků.
Chcete-li zjistit počet permutací bez opakování, použijte následující vzorec:
Pn = n!
Který rozšířený by byl Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).
V předchozím praktickém příkladu by tedy bylo použito takto:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 různých čtyřmístných čísel.
Jedná se o celkem 24 polí: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.
Jak je vidět, opakování se v každém případě neprovádí, je to 24 různých čísel.
Rejstřík článků
Budeme konkrétněji analyzovat příklad 24 různých čtyřmístných uspořádání, která mohou být vytvořena pomocí číslic čísla 2468. Počet uspořádání (24) lze znát následovně:
Máte 4 možnosti pro výběr první číslice, takže 3 možnosti pro výběr druhé číslice. Dvě číslice již byly nastaveny a pro výběr třetí číslice zůstávají 2 možnosti. Poslední číslice má pouze jednu možnost výběru.
Proto je počet permutací, označených P4, získán součinem možností výběru na každé pozici:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 různých čtyřmístných čísel
Obecně platí, že počet permutací nebo odlišných uspořádání, která lze provést se všemi n prvky dané sady, jsou:
Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)
Výraz n! je známý jako n faktoriál a znamená součin všech přirozených čísel, která leží mezi číslem n a číslem jedna, včetně obou.
Nyní předpokládejme, že chcete znát počet permutací nebo dvouciferných čísel, která lze vytvořit pomocí číslic čísla 2468.
Celkově by to bylo 12 opatření: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86
Máte 4 možnosti pro výběr první číslice, která ponechává 3 číslice pro výběr druhé. Počet permutací 4 číslic braných dvěma po dvou, označených 4P2, tedy získá součin možností výběru na každé pozici:
4P2 = 4 * 3 = 12 různých 2místných čísel
Obecně platí, že počet permutací nebo odlišných uspořádání, která lze provést s r prvky n celkem v dané sadě, je:
nPr = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)]
Výše uvedený výraz je před hraním n! Zkrácen. Dokončit n! z toho bychom měli napsat:
n! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r) ... (2) (1)
Faktory, které přidáme, zase představují faktoriál:
(n - r)… (2) (1) = (n - r)!
Proto,
n! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r) ... (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r)!
Odtud
n! / (n - r)! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] = nPr
Kolik různých pětipísmenných kombinací písmen lze vytvořit pomocí písmen slova KEY??
Chceme najít počet různých 5písmenných kombinací písmen, které lze vytvořit s 5 písmeny slova KEY; tj. počet 5písmenných polí zahrnujících všechna písmena dostupná ve slově KEY.
Počet 5písmenových slov = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 různých 5písmenných kombinací písmen.
Byly by tyto: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... celkem až 120 různých kombinací písmen.
Máte 15 očíslovaných koulí a chcete vědět, kolik různých skupin 3 koulí lze postavit z 15 očíslovaných koulí?
Chcete zjistit počet skupin 3 míčků, které lze vytvořit s 15 očíslovanými míčky.
Počet skupin po 3 koulích = 15 P3 = 15! / (15 - 3)!
Počet skupin po 3 koulích = 15 * 14 * 13 = 2730 skupin po 3 koulích
V obchodě s ovocem je výstavní stánek, který se skládá z řady přihrádek umístěných ve vstupní hale do areálu. Za jeden den získá zelinář na prodej: pomeranče, banány, ananas, hrušky a jablka.
a) Kolik různých způsobů objednání výstavního stánku máte?
b) Kolik různých způsobů objednání stánku máte, pokud jste v ten den kromě výše uvedeného ovoce (5) dostali: mango, broskve, jahody a hrozny (4)?
a) Chceme najít řadu různých způsobů, jak objednat všechny plody v řádku displeje; to znamená počet uspořádání 5 ovocných předmětů, které zahrnují všechny druhy ovoce, které jsou v daný den k dispozici k prodeji.
Počet uspořádání stojanu = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet uspořádání stánku = 120 způsobů prezentace stánku
b) Chceme najít řadu různých způsobů, jak objednat všechny plody v řádku displeje, pokud byly přidány další 4 položky; to znamená počet uspořádání 9 ovocných předmětů, které zahrnují všechny druhy ovoce, které jsou v daný den k dispozici k prodeji.
Počet uspořádání stojanů = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet uspořádání stánku = 362 880 způsobů prezentace stánku
Malá prodejna potravin má pozemek s dostatečným prostorem pro parkování 6 vozidel.
a) Kolik různých způsobů objednání vozidel na pozemku lze zvolit?
b) Předpokládejme, že se získá souvislý pozemek, jehož rozměry umožňují zaparkovat 10 vozidel, kolik různých způsobů objednání vozidel lze nyní vybrat?
a) Chceme najít počet různých způsobů objednání 6 vozidel, která mohou být umístěna na pozemku.
Počet uspořádání 6 vozidel = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet uspořádání 6 vozidel = 720 různých způsobů objednání 6 vozidel na pozemku.
b) Chceme na pozemku najít počet různých způsobů objednání 10 vozidel, která mohou být umístěna po rozšíření pozemku.
Počet uspořádání 10 vozidel = P10 = 10!
Počet uspořádání vozidla = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet uspořádání 10 vozidel = 3 628 800 různých způsobů objednání 10 vozidel na pozemku.
Květinářství má květiny 6 různých barev, aby vytvořily květinové vlajky národů, které mají pouze 3 barvy. Pokud je známo, že v barvách je důležité pořadí barev,
a) Kolik různých vlajek 3 barev lze vyrobit pomocí 6 dostupných barev?
b) Prodávající kupuje květiny 2 dalších barev k 6, které již měl, nyní kolik různých vlajek 3 barev lze vyrobit?
c) Jelikož máte 8 barev, rozhodnete se rozšířit nabídku vlajek, kolik různých vlajek 4 barev můžete vyrobit?
d) Kolik ze 2 barev?
a) Chceme najít počet různých vlajek 3 barev, které lze vyrobit výběrem ze 6 dostupných barev.
Počet 3barevných vlajek = 6P3 = 6! / (6-3)!
Počet 3barevných vlajek = 6 * 5 * 4 = 120 vlajek
b) Chcete-li najít počet různých vlajek 3 barev, které lze vytvořit výběrem z 8 dostupných barev.
Počet 3barevných vlajek = 8P3 = 8! / (8 - 3)!
Počet 3barevných příznaků = 8 * 7 * 6 = 336 příznaků
c) Musí se vypočítat počet různých 4barevných vlajek, které lze vytvořit výběrem z 8 dostupných barev.
Počet čtyřbarevných vlajek = 8P4 = 8! / (8 - 4)!
Počet čtyřbarevných příznaků = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 příznaků
d) Chcete-li určit počet různých příznaků 2 barev, které lze vytvořit výběrem z 8 dostupných barev.
Počet dvoubarevných vlajek = 8P2 = 8! / (8-2)!
Počet dvoubarevných vlajek = 8 * 7 = 56 vlajek
Zatím žádné komentáře