The podmíněná pravděpodobnost Jedná se o možnost výskytu určité události, vzhledem k tomu, že další nastává jako podmínka. Tyto dodatečné informace mohou (ale nemusí) změnit vnímání toho, že se něco stane.
Můžeme si například položit otázku: „Jaká je pravděpodobnost, že dnes bude pršet, vzhledem k tomu, že nepršelo dva dny?“ Událostí, u které chceme vědět pravděpodobnost, je to, že dnes prší, a další informace, které by podmínku odpovědi byly, jsou: „nepršelo dva dny“.
Být pravděpodobnostní prostor složený z Ω (ukázkový prostor), ℬ (náhodné události) a P (pravděpodobnost každé události), plus události A a B, které patří do ℬ.
Podmíněná pravděpodobnost, že dojde k A, vzhledem k tomu, že došlo k B, která je označena jako P (A│B), je definována takto:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A a B) / P (B)
Kde: P (A) je pravděpodobnost výskytu A, P (B) je pravděpodobnost události B a liší se od 0, a P (A∩B) je pravděpodobnost průniku mezi A a B, tj. pravděpodobnost, že dojde k oběma událostem (společná pravděpodobnost).
Toto je výraz pro Bayesovu větu aplikovaný na dvě události, navržený v roce 1763 anglickým teologem a matematikem Thomasem Bayesem.
Rejstřík článků
-Každá podmíněná pravděpodobnost je mezi 0 a 1:
0 ≤ P (A│B) ≤ 1
-Pravděpodobnost, že dojde k události A, je vzhledem k této události zjevně 1:
P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1
-Pokud jsou dvě události exkluzivní, to znamená události, které se nemohou stát současně, pak je podmíněná pravděpodobnost, že k jedné z nich dojde, 0, protože průnik je null:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0
-Pokud B je podmnožinou A, pak je podmíněná pravděpodobnost také 1:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1
Důležité
P (A│B) se obecně nerovná P (B│A), proto musíme být při hledání podmíněné pravděpodobnosti opatrní, aby nedošlo k záměně událostí.
Mnohokrát chcete najít společnou pravděpodobnost P (A∩B), nikoli podmíněnou pravděpodobnost. Potom prostřednictvím následující věty máme:
P (A∩B) = P (A a B) = P (A│B). P (B)
Věta může být rozšířena na tři události A, B a C:
P (A∩B∩C) = P (A a B a C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)
A také pro různé akce, jako je A1, NAdva, NA3 a další, lze jej vyjádřit takto:
P (A.1∩ Adva ∩ A3… ∩ An) = P (A.)1). P (A.dva│A1). P (A.3│A1∩ Adva) ... P (A.n││A1∩ Adva∩… An-1)
Pokud se jedná o události, které se vyskytují postupně a v různých fázích, je vhodné uspořádat data do diagramu nebo tabulky. To usnadňuje vizualizaci možností k dosažení požadované pravděpodobnosti..
Příkladem toho jsou stromový diagram a pohotovostní tabulka. Z jednoho z nich můžete postavit druhý.
Pojďme se podívat na některé situace, ve kterých se pravděpodobnost jedné události změní výskytem jiné:
V cukrárně se prodávají dva druhy koláčů: jahodový a čokoládový. Registrací preferencí 50 klientů obou pohlaví byly stanoveny následující hodnoty:
-27 žen, z nichž 11 dává přednost jahodovému a 16 čokoládovému.
-23 mužů: 15 si vybralo čokoládu a 8 jahod.
Pravděpodobnost, že si zákazník vybere čokoládový dort, lze určit pomocí Laplaceova pravidla, podle kterého je pravděpodobnost jakékoli události:
P = počet příznivých událostí / celkový počet událostí
V tomto případě z 50 zákazníků dává celkem 31 přednost čokoládě, takže pravděpodobnost by byla P = 31/50 = 0,62. To znamená, že 62% zákazníků dává přednost čokoládovému dortu.
Ale bylo by to jiné, kdyby klientem byla žena? Toto je případ podmíněné pravděpodobnosti.
Pomocí kontingenční tabulky, jako je tato, se snadno zobrazí součty:
Poté jsou pozorovány příznivé případy a uplatní se Laplaceovo pravidlo, ale nejdříve definujeme události:
-B je událost „ženského klienta“.
-A je událost „upřednostňovat čokoládový dort“, být ženou.
Přejdeme ke sloupci označenému jako „ženy“ a tam vidíme, že celkem je 27.
Poté se hledá příznivý případ v řádku „čokoláda“. Těchto událostí je 16, proto je hledaná pravděpodobnost přímo:
P (A│B) = 16/27 = 0,5924
59,24% zákaznic preferuje čokoládový dort.
Tato hodnota se shoduje, když ji porovnáme s původně danou definicí podmíněné pravděpodobnosti:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B)
Ujistíme se, že používáme Laplaceovo pravidlo a hodnoty tabulky:
P (B) = 27/50
P (A a B) = 16/50
Kde P (A a B) je pravděpodobnost, že zákazník preferuje čokoládu a je žena. Nyní jsou hodnoty nahrazeny:
P (A│B) = P (A a B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.
A je dokázáno, že výsledek je stejný.
V tomto příkladu platí pravidlo násobení. Předpokládejme, že v obchodě jsou vystaveny kalhoty ve třech velikostech: malé, střední a velké..
U hodně s celkem 24 kalhotami, z nichž je 8 z každé velikosti a všechny jsou smíšené, jaká by byla pravděpodobnost vytažení dvou z nich a že oba byly malé?
Je jasné, že pravděpodobnost odstranění malých kalhotek na první pokus je 8/24 = 1/3. Nyní je druhá extrakce podmíněna první událostí, protože při odstraňování kalhot není jich už 24, ale 23. A pokud jsou odstraněny malé kalhotky, je jich 7 místo 8.
Událost A stahuje jedno malé kalhoty, když si na první pokus vytáhla další. A událost B je ta s malými kalhotami poprvé. Proto:
P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24
Nakonec pomocí pravidla násobení:
P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097
Ve studii dochvilnosti komerčních leteckých letů jsou k dispozici následující údaje:
-P (B) = 0,83, je pravděpodobnost, že letadlo vzlétne včas.
-P (A) = 0,81, je pravděpodobnost přistání včas.
-P (B∩A) = 0,78 je pravděpodobnost, že let přiletí včas a vzlétne včas.
Vyzývá se k výpočtu:
a) Jaká je pravděpodobnost, že letadlo přistane včas, protože vzlétlo včas?
b) Je předchozí pravděpodobnost stejná jako pravděpodobnost, kterou opustil včas, pokud se mu podařilo přistát včas??
c) A konečně: jaká je pravděpodobnost, že vzhledem k tomu dorazí včas ne vyšel včas?
K zodpovězení otázky se používá definice podmíněné pravděpodobnosti:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A a B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398
V tomto případě jsou události v definici vyměněny:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A a B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630
Všimněte si, že tato pravděpodobnost se mírně liší od předchozí, jak jsme již dříve zdůraznili.
Pravděpodobnost, že neodejdete včas, je 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, budeme to nazývat P (BC), protože se jedná o doplňkovou událost, která má vzlétnout včas. Hledaná podmíněná pravděpodobnost je:
P (A│BC) = P (A∩BC) / P (B.C) = P (A a BC) / P (B.C)
Na druhou stranu:
P (A∩BC) = P (přistání včas) - P (přistání včas a včasný vzlet) = 0,81-0,78 = 0,03
V tomto případě je hledaná podmíněná pravděpodobnost:
P (A│BC) = 0,03 / 0,17 = 0,1765
Zatím žádné komentáře