Jaké typy integrálů existují?

The typy integrálů že v kalkulu najdeme neurčité integrály a určité integrály. Ačkoli určité integrály mají mnohem více aplikací než neurčité integrály, je třeba se nejprve naučit, jak řešit neurčité integrály..

Jednou z nejatraktivnějších aplikací určitých integrálů je výpočet objemu rotačního tělesa. Oba typy integrálů mají stejné vlastnosti linearity a také integrační techniky nezávisí na typu integrálu.

Ale přesto, že jsou velmi podobné, existuje jeden hlavní rozdíl; v prvním typu integrálu je výsledkem funkce (která není konkrétní), zatímco v druhém typu je výsledkem číslo.

Základní typy integrálů

Svět integrálů je velmi široký, ale v jeho rámci můžeme rozlišit dva základní typy integrálů, které mají velkou použitelnost v každodenním životě..

1- Neurčité integrály

Pokud F '(x) = f (x) pro všechna x v doméně f, říkáme, že F (x) je primitivní, primitivní nebo integrál f (x).

Na druhou stranu pozorujme, že (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), což znamená, že integrál funkce není jedinečný, protože dává různé hodnoty konstanta C získáme různá anti-negativa.

Z tohoto důvodu se F (x) + C nazývá Indefinite Integral of f (x) a C se nazývá konstanta integrace a my ji napíšeme následovně

Jak vidíme, neurčitý integrál funkce f (x) je rodina funkcí.

Například pokud chcete vypočítat neurčitý integrál funkce f (x) = 3x², musíte nejprve najít primitivní funkci f (x).

Je snadno vidět, že F (x) = x³ je primitivní, protože F '(x) = 3x². Lze tedy učinit závěr, že

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Určité integrály

Nechť y = f (x) je skutečná, spojitá funkce na uzavřeném intervalu [a, b] a nechť F (x) je primitivní funkce f (x). Definitivní integrál f (x) mezi limity a a b se nazývá číslo F (b) -F (a) a je označen následovně

Vzorec zobrazený výše je lépe známý jako „Základní věta o počtu“. Zde se „a“ nazývá dolní mez a „b“ horní mez. Jak vidíte, konečným integrálem funkce je číslo.

V tomto případě, pokud vypočítáme určitý integrál f (x) = 3x² v intervalu [0,3], získáme číslo.

Abychom určili toto číslo, zvolíme F (x) = x³ jako primitivní funkci f (x) = 3x². Poté vypočítáme F (3) -F (0), což nám dává výsledek 27-0 = 27. Závěrem lze říci, že určitý integrál f (x) na intervalu [0,3] je 27.

Je možné poznamenat, že pokud je zvoleno G (x) = x³ + 3, pak G (x) je primitivní funkce f (x) odlišné od F (x), ale to neovlivní výsledek, protože G (3) - G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Z tohoto důvodu se v určitých integrálech konstanta integrace neobjevuje.

Jednou z nejužitečnějších aplikací tohoto typu integrálu je to, že umožňuje vypočítat plochu (objem) rovinné figury (rotačního tělesa), stanovit vhodné funkce a limity integrace (a osu otáčení).

V rámci definovaných integrálů najdeme jeho různá rozšíření, například lineární integrály, povrchové integrály, nesprávné integrály, více integrálů, mimo jiné všechny s velmi užitečnými aplikacemi ve vědě a inženýrství..

Reference

1. Casteleiro, J. M. (2012). Je snadné ji integrovat? Manuál pro samostudium. Madrid: ESIC.
2. Casteleiro, J. M. a Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Integrální počet (Ilustrované vydání.). Madrid: ESIC Editorial.
3. Fleming, W., a Varberg, D. E. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
4. Fleming, W., a Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika: přístup k řešení problémů (2, ilustrované vydání.). Michigan: Prentice Hall.
5. Kishan, H. (2005). Integrální počet. Atlantic Publishers & Distributors.
6. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Výpočet (Deváté vydání.). Hala Prentice.