Dva body A a A 'mají centrální symetrie vzhledem k bodu O, když segment AA 'prochází skrz a je také středem AA'. Bod O se nazývá střed symetrie.
Centrální symetrie trojúhelníku ABC vzhledem k bodu O je dalším trojúhelníkem A'B'C ', který má následující charakteristiky:
-Homologní segmenty jsou stejně dlouhé
-Jejich odpovídající úhly mají stejnou míru.
Na obrázku 1 můžete vidět trojúhelník ABC (červený) a jeho centrální symetrii A'B'C '(zelený), vzhledem ke středu symetrie O.
Na tomto stejném obrázku by si pozorný pozorovatel uvědomil, že stejného výsledku je dosaženo použitím rotace původního trojúhelníku, pokud je 180 ° a je vystředěn v O.
Proto je centrální symetrie ekvivalentní otočení o 180 ° vzhledem ke středu symetrie.
Rejstřík článků
Centrální symetrie má následující vlastnosti:
-Střed symetrie je středem segmentu, který spojuje bod se svou symetrií.
-Symetrický bod jiného, který je umístěn ve středu symetrie, se shoduje se středem symetrie.
-Centrální symetrie trojúhelníku je trojúhelník shodný (stejný) s originálem.
-Obrázek podle centrální symetrie kruhu je další kruh se stejným poloměrem.
-Kruh má středovou symetrii kolem vlastního středu.
-Elipsa má středovou symetrii kolem svého středu.
-Segment má středovou symetrii kolem svého středu.
-Rovnostranný trojúhelník nemá centrální symetrii vzhledem ke svému středu, protože jeho symetrie, i když je shodná s první, dává rotovaný rovnostranný trojúhelník.
-Čtverce mají středovou symetrii kolem svého středu.
-Pentagonu chybí centrální symetrie kolem jeho středu.
-Pravidelné mnohoúhelníky mají středovou symetrii, když mají sudý počet stran.
Kritéria symetrie mají mnoho aplikací ve vědě a inženýrství. Centrální symetrie je přítomná v přírodě, například ledové krystaly a pavučiny mají tento druh symetrie.
Mnoho problémů lze navíc snadno vyřešit, když se využije existence centrální symetrie a jiných druhů symetrie. Proto je vhodné rychle zjistit, kdy k němu dojde.
Vzhledem k bodu P souřadnic (a, b) musíme najít souřadnice jeho symetrického P 'vzhledem k počátku O souřadnic (0, 0).
První věcí je sestrojit bod P ', pro který je nakreslena přímka, která prochází počátkem O a bodem P. Rovnice uvedené přímky je y = (b / a) x.
Nyní zavoláme (a ', b') souřadnice symetrického bodu P '. Bod P 'musí ležet na přímce, která prochází O, a proto platí: b' = (b / a) a '. Dále musí být vzdálenost OP rovna OP ', která je v analytické formě napsána takto:
√ (dodva + bdva) = √ (a 'dva + b 'dva )
Následuje nahrazení b '= [(b / a) .a'] ve výše uvedeném výrazu a umocnění obou stran rovnosti, aby se odstranila druhá odmocnina: (adva + bdva) = [a 'dva + (nardva/nadva).na'dva]
Extrahováním společného faktoru a zjednodušením získáme, žedva = adva. Tato rovnice má dvě reálná řešení: a '= + a nebo a = = a.
Abychom dostali b ', použijeme znovu b' = (b / a) a '. Pokud je kladné řešení a 'nahrazeno, dostaneme se k tomu b' = b. A když je záporné řešení nahrazeno, pak b '= -b.
Kladné řešení dává pro P 'stejný bod P, takže je vyřazen. Negativní řešení rozhodně udává souřadnice symetrického bodu:
P ': (-a, -b)
Je nutné ukázat, že segment AB a jeho centrální symetrický A'B 'mají stejnou délku.
Počínaje souřadnicemi bodu A, které jsou (Ax, Ay) a souřadnicemi bodu B: (Bx, By), je délka úseku AB dána vztahem:
d (AB) = √ ((Bx - Ax)dva + (Podle - Ay)dva )
Analogicky bude mít symetrický segment A'B 'délku danou:
d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ')dva + (Autor: - - Ay)dva )
Souřadnice symetrického bodu A 'jsou Ax' = -Ax a Ay '= -Ay. Podobně B 'jsou Bx' = -Bx a By '= -By. Pokud jsou tyto souřadnice nahrazeny v rovnici vzdálenosti d (A'B '), máme:
d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax)dva + (-By + Ay)dva) což odpovídá:
√ ((Bx - Ax)dva + (Podle - Ay)dva) = d (AB)
Je tedy ukázáno, že oba segmenty mají stejnou délku.
Analyticky ukažte, že středový symetrický O kruhu o poloměru R a středu O je stejný původní kruh.
Rovnice kružnice s poloměrem R a středem O (0,0) je:
Xdva + Ydva = R.dva (Rovnice obvodu C)
Pokud je v každém bodě P obvodu y souřadnic (x, y) nalezena jeho symetrická P 'souřadnic (x', y '), rovnice symetrického obvodu je:
X 'dva + Y 'dva = R.dva (Rovnice symetrického kruhu C ')
Nyní odkazujeme na výsledek příkladu 1, ve kterém se dospělo k závěru, že souřadnice bodu P ', symetrické k P a se souřadnicemi (a, b), jsou (-a, -b).
Ale v tomto cvičení má bod P souřadnice (x, y), takže jeho symetrický P 'bude mít souřadnice x' = -x a y '= -y. Dosazením do rovnice symetrického kruhu máme:
(-X)dva + (-Y)dva = R.dva
Což odpovídá: xdva+ Ydva = R.dva, dochází k závěru, že středovou symetrií kruhu vzhledem k jeho středu je samotný obvod.
Ukažte geometricky, že středová symetrie zachovává úhly.
V letadle jsou tři body A, B a C. Jeho symetrie A ', B' a C 'jsou konstruovány vzhledem ke středu symetrie O, jak je znázorněno na obrázku 4.
Nyní musíme ukázat, že úhel ∡ABC = β má stejnou míru jako úhel ∡A'B'C '= β'.
Protože C a C 'jsou symetrické, pak OC = OC'. Podobně OB = OB 'a OA = OA'. Na druhou stranu úhel ∡BOC = ∡B'OC ', protože jsou proti vrcholu.
Pak jsou trojúhelníky BOC a B'OC 'shodné, protože mají stejný úhel mezi dvěma stejnými stranami.
Protože BOC odpovídá B'OC ', pak úhly y Y γ ' Jsou si rovni. Ale tyto úhly, kromě splnění γ = γ ' jsou vnitřní alternativy mezi řádky BC a B'C ', což znamená, že čára BC je rovnoběžná s B'C'.
Podobně BOA odpovídá B'OA ', z čehož vyplývá, že α = α ' . Ale α Y α ' jsou alternativní vnitřní úhly mezi přímkami BA a B'A ', ze kterých se vyvozuje, že přímka BA je rovnoběžná s B'A'.
Protože úhel ∡ABC = β má své strany rovnoběžné s úhlem ∡A'B'C '= β' a oba jsou ostré, dochází k závěru, že:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
Tímto způsobem se prokazuje, že centrální symetrie zachovává míru úhlů.
Zatím žádné komentáře