Příklady kvadratických posloupností, pravidla a řešená cvičení

The kvadratické posloupnosti, v matematických termínech se skládají ze sekvencí čísel, která se řídí určitým aritmetickým pravidlem. Je zajímavé znát toto pravidlo pro určení kteréhokoli z pojmů sekvence.

Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je určit rozdíl mezi dvěma po sobě následujícími členy a zjistit, zda se získaná hodnota vždy opakuje. V tomto případě se říká, že pravidelné posloupnosti.

Pokud se to však neopakuje, můžete zkusit zkoumat rozdíl mezi rozdíly a zjistěte, zda je tato hodnota konstantní. Pokud ano, pak je to a kvadratická posloupnost. 

Rejstřík článků

• 1 Příklady pravidelných a kvadratických sekvencí
  • 1.1 Příklad řádného posloupnosti
  • 1.2 Příklad nepravidelné a kvadratické posloupnosti
• 2 Obecné pravidlo pro konstrukci kvadratické posloupnosti
  • 2.1 Rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy kvadratické posloupnosti
• 3 Vyřešené problémy kvadratických posloupností
  • 3.1 Cvičení 1
  • 3.2 Cvičení 2
  • 3.3 Cvičení 3
• 4 Odkazy

Příklady pravidelných sekvencí a kvadratických sekvencí

Následující příklady pomáhají objasnit, co bylo dosud vysvětleno:

Příklad řádného posloupnosti

Nechť posloupnost S = 4, 7, 10, 13, 16,…

Tato posloupnost, označená S, je nekonečná číselná množina, v tomto případě celá čísla.

Je vidět, že se jedná o pravidelnou posloupnost, protože každý člen se získá přidáním 3 k předchozímu členu nebo prvku:

4

4 +3 = 7

7+3 = 10

10+3 = 13

13+3 = 16

Jinými slovy: tato posloupnost je pravidelná, protože rozdíl mezi dalším a předchozím výrazem dává pevnou hodnotu. V uvedeném příkladu je tato hodnota 3.

Rovněž se nazývají pravidelné posloupnosti, které se získají přidáním fixního množství k předchozímu termínu aritmetické průběhy. A nazývá se rozdíl - stálý - mezi po sobě následujícími podmínkami důvod a je označen jako R.

Příklad nepravidelné a kvadratické posloupnosti

Zobrazit následující sekvenci:

S = 2, 6, 12, 20, 30,….

Při výpočtu postupných rozdílů se získají následující hodnoty:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Jeho rozdíly nejsou konstantní, takže lze říci, že se nejedná o pravidelnou sekvenci.

Pokud však vezmeme v úvahu množinu rozdílů, máme další posloupnost, která bude označena jako S_rozdíl:

S_rozdíl = 4, 6, 8, 10,….

Tato nová posloupnost je a pravidelné posloupnosti, protože každý člen se získá přidáním pevné hodnoty R = 2 k předchozímu. Proto můžeme potvrdit, že S je kvadratická posloupnost.

Obecné pravidlo pro konstrukci kvadratické posloupnosti

Existuje obecný vzorec pro konstrukci kvadratické posloupnosti:

T_n = A ∙ n^dva + B ∙ n + C

V tomto vzorci T_n je termín polohy n posloupnosti. A, B a C jsou pevné hodnoty, zatímco n se mění jeden po druhém, tj. 1, 2, 3, 4, ...

V pořadí S předchozího příkladu A = 1, B = 1 a C = 0. Odtud vyplývá, že vzorec, který generuje všechny výrazy, je: T_n = n^dva + n

A to:

T₁ = 1^dva + 1 = 2

T_dva = 2^dva + 2 = 6

T₃ = 3^dva + 3 = 12

T₅ = 5^dva + 5 = 30

T_n = n^dva + n

Rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy kvadratické sekvence

T_{n + 1} - T_n = [A ∙ (n + 1)^dva + B ∙ (n + 1) + C] - [A ∙ n^dva + B ∙ n + C]

Rozvíjení výrazu prostřednictvím pozoruhodného produktu zůstává:

T_{n + 1} - T_n = A ∙ n^dva + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n^dva - B ∙ n - C.

Jeho zjednodušením získáte:

T_{n + 1} - T_n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Toto je vzorec, který dává posloupnost rozdílů S_Dif který lze napsat takto:

Dif_n = A ∙ (2n + 1) + B

Kde je jasně následující termín 2 ∙ Někdy předchozí. To znamená poměr posloupnosti rozdílů S_rozdíl je: R = 2 ∙ A.

Vyřešené problémy kvadratických posloupností

Cvičení 1

Nechť posloupnost S = 1, 3, 7, 13, 21,…. Určete, zda:

i) Je to pravidelné nebo ne

ii) Je to kvadratické nebo ne

iii) Bylo to kvadratické, posloupnost rozdílů a jejich poměr

Odpovědi

i) Pojďme vypočítat rozdíl mezi následujícími a předchozími podmínkami:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Můžeme to potvrdit posloupnost S není pravidelná, protože rozdíl mezi po sobě následujícími podmínkami není konstantní.

ii) Pořadí rozdílů je pravidelné, protože rozdíl mezi jeho členy je konstantní hodnota 2. Proto původní sekvence S je kvadratická.

iii) Již jsme určili, že S je kvadratické, posloupnost rozdílů je:

S_rozdíl = 2, 4, 6, 8, ... a jeho poměr je R = 2.

Cvičení 2

Nechť posloupnost S = 1, 3, 7, 13, 21,… z předchozího příkladu, kde bylo ověřeno, že je kvadratická. Určit:

i) Vzorec, který určuje obecný termín T_{n .}

ii) Zkontrolujte třetí a pátý výraz.

iii) Hodnota desátého semestru.

Odpovědi

i) Obecný vzorec T_n je A ∙ n^dva + B ∙ n + C. Pak zbývá znát hodnoty A, B a C..

Posloupnost rozdílů má poměr 2. Dále, pro jakoukoli kvadratickou sekvenci je poměr R 2 ∙ A, jak je znázorněno v předchozích částech.

R = 2 ∙ A = 2, což nás vede k závěru, že A = 1.

První člen posloupnosti rozdílů S_Dif je 2 a musí splňovat A ∙ (2n + 1) + B, s n = 1 a A = 1, to znamená:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

řešení pro B získáme: B = -1

Pak první člen S (n = 1) má hodnotu 1, to znamená: 1 = A ∙ 1^dva + B ∙ 1 + C. Jak již víme, že A = 1 a B = -1, dosazením máme:

1 = 1 ∙ 1^dva + (-1) ∙ 1 + C.

Řešení pro C získáme jeho hodnotu: C = 1.

Celkem:

A = 1, B = -1 a C = 1

Pak bude n-tý termín T_n = n^dva - n + 1

ii) Třetí termín T₃ = 3^dva - 3 + 1 = 7 a je ověřeno. Pátý T₅ = 5^dva - 5 + 1 = 21, což je také ověřeno.

iii) Desátý termín bude T₁₀ = 10^dva - 10 + 1 = 91.

Cvičení 3

Obrázek ukazuje posloupnost pěti čísel. Mřížka představuje jednotku délky.

i) Určete sekvenci pro plochu obrázků.

ii) Ukažte, že se jedná o kvadratickou posloupnost.

iii) Najděte oblast obrázku č. 10 (nezobrazeno).

Odpovědi

i) Posloupnost S odpovídající oblasti posloupnosti obrázků je:

S = 0, 2, 6, 12, 20,…

ii) Posloupnost odpovídající postupným rozdílům podmínek S je:

S_rozdíl = 2, 4, 6, 8,…

Protože rozdíl mezi po sobě následujícími podmínkami není konstantní, potom S není pravidelná posloupnost. Zbývá vědět, jestli je to kvadratické, pro které znovu provedeme posloupnost rozdílů a získáme:

2, 2, 2,….

Protože se opakují všechny členy posloupnosti, je potvrzeno, že S je kvadratická posloupnost.

iii) Posloupnost S_rozdíl je pravidelný a jeho poměr R je 2. Pomocí výše uvedené rovnice R = 2 ∙ A zůstává:

2 = 2 ∙ A, což znamená, že A = 1.

Druhý člen posloupnosti rozdílů S_Dif je 4 a n-tý člen S_Dif to je

A ∙ (2n + 1) + B..

Druhý člen má n = 2. Kromě toho již bylo stanoveno, že A = 1, takže pomocí předchozí rovnice a dosazením máme:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Řešení pro B získáme: B = -1.

Je známo, že druhý člen S má hodnotu 2 a že musí splňovat vzorec obecného členu s n = 2:

T_n = A ∙ n^dva + B * n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T_dva = 2

A to

2 = 1 ∙ 2^dva - 1 ∙ 2 + C

Byl vyvozen závěr, že C = 0, to znamená, že vzorec, který dává obecný člen posloupnosti S, je:

T_n = 1 ∙ n^dva - 1 ∙ n +0 = n^dva - n

Nyní je ověřen pátý termín:

T₅ = 5^dva - 5 = 20

iii) Obrázek č. 10, který zde nebyl nakreslen, bude mít plochu odpovídající desátému členu posloupnosti S:

T₁₀ = 10^dva - 10 = 90

Reference

1. https://www.geogebra.org