The faktorová věta uvádí, že polynom P (x) je dělitelný dvojčlenem tvaru (x - a), pokud x = a je kořenem P (x), tj. P (a) = 0. Říká se, že polynom je dělitelný mezi jiným, když jeho reziduum nebo zbytek je nula.
Polynom je výrazem formy:
P (x) = an Xn + nan-1 Xn-1 +… + A1 x + a0
Kde:
-n je stupeň polynomu, kde n je největší celé číslo, na které se zvedne nezávislá proměnná x,
-Hodnoty don, nan-1 ,… + A1 , na0 jsou koeficienty polynomu, což jsou obecně reálná čísla, ale mohou to být také komplexní čísla.
Polynom stupně n lze rozložit jako součin n binomiků formy:
(x - ri)
Kde ri je i-tým kořenem P (x):
P (x) = an (x - r1) (x - r.)dva)… (X - rn)
Protože počet kořenů polynomu se rovná jeho stupni.
Rejstřík článků
Zvažme případ polynomu:
P (x) = 3⋅xdva - 7x + 2
Chcete vědět, jestli je tento polynom dělitelný binomií (x - 2). Je-li použita věta o faktoru, pak musíme vyhodnotit P (x = 2), abychom věděli, zda je hodnota 2 kořen nebo není. Poté pokračujeme k vyhodnocení výrazu:
P (2) = 3⋅22 - 7⋅2 + 2 = 3⋅4 - 7⋅2 + 2 = 12-14 + 2 = 12-12 = 0.
Ukazuje se, že x = 2 je kořenem P (x), takže podle věty o faktoru je binomický (x - 2) účinně faktorem P (x).
Pojďme k přímému ověření dělením. Podrobnosti o tom, jak se dělení provádí, ukazuje následující obrázek:
Je ověřeno, že kvocient mezi P (x) a (x-2) dává polynom nižšího stupně, který se nazývá kvocient C (x) = 3⋅x - 1 se zbytkem 0.
Výsledek můžeme shrnout takto:
(3⋅xdva - 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x - 1) + 0
Předchozí výraz lze zapsat jiným způsobem, jednoduše si zapamatujeme, že dividenda P (x) se rovná součinu dělitele (x -2) o podíl (3⋅x - 1) plus zbytek (v tomto případě nula) ):
(3⋅xdva - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1) + 0
Tímto způsobem bylo možné faktorovat polynom P (x), tj. Psát jako produkt polynomů, původní polynom:
(3⋅xdva - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1)
Nechť polynom Q (x) = x3 - x + 2. Chceme vědět, jestli je to dělitelné binomikem (x + 1).
Nejpřímějším způsobem je jednoduše použít faktorovou větu. V tomto případě jednoduše musíme zkontrolovat, zda x = -1 ruší polynom Q (x).
Postupujeme nahrazením:
Q (-1) = (-1)3 - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2
Výsledek se liší od nuly, proto nás faktorová věta ujišťuje, že polynom Q (x) není dělitelný (x + 1), protože Q (-1) ≠ 0.
Nyní budeme pokračovat v dělení Q (x) binomickým (x + 1) jako metodu ověření našeho závěru.
Při této příležitosti bude dělení provedeno metodou syntetického dělení, která spočívá v umístění všech koeficientů polynomu, včetně těch chybějících, do prvního řádku seřazeného od nejvyššího stupně po nulový, protože mají nulový koeficient.
Pak v prvním sloupci je umístěn nezávislý člen dělitele, ale se změnou znaménka, v našem případě je dělitel (x + 1). Jeho nezávislý člen je 1, ale stejně jako v prvním sloupci je umístěn znak změny, tj. -1.
Následující obrázek ukazuje, jak probíhá syntetické dělení:
S tímto výsledkem je ověřeno, že (x + 1) není faktorem polynomu Q (x) = x3 - x + 2, protože zbytek není nula.
Tento závěr není překvapivý, protože již byl předpovězen pomocí věty o faktorech. Všimněte si také, že při nahrazení x = -1 v Q (x) se získá přesně zbytek nebo zbytek dělení polynomů, protože Q (-1) = zbytek = 2.
Dělení samozřejmě poskytuje další informace o podílu C (x) = xdva - X.
Nezapomeňte, že dividenda Q (x) se rovná děliteli (x + 1) kvocientem C (x) plus zbytek r = 2, máme expanzi polynomu Q (x) takto:
Q (x) = (x + 1) (xdva - x) + 2 = x (x + 1) (x - 1) + 2
Je třeba poznamenat, že tento výraz není faktorizací uvedeného polynomu, protože existuje nenulový termín sčítání, což je přesně zbytek hodnoty 2.
Najděte faktory polynomu
P (x) = x3 - 5 xdva + 2 x + 8
A také napište svoji faktorizaci.
Faktorová věta nám říká, že musíme hledat kořeny na pak najít faktory (x - na), v tomto případě, protože se jedná o polynom stupně tři, musí existovat tři kořeny.
Jelikož se jedná o polynom s celočíselnými koeficienty, musí být kořeny mezi děliteli nezávislého členu, který je v tomto případě 8. Tyto dělitele jsou:
± 1, ± 2, ± 4, ± 8.
Začneme zkoumáním +1: P (+1) = 13 - 5⋅ 1dva + 2⋅1 + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 = 6, které se liší od 0, proto +1 není kořen.
Prozkoumáme -1:
P (-1) = (-1)3 - 5⋅ (-1)dva + 2⋅ (-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0
Z výsledku se uzavírá, že -1 je kořen P (x) a (x - (-1)) = (x + 1) je faktor polynomu.
Zbývají ještě dva další faktory:
Dokazujeme následující, což je +2:
P (+2) = (+2)3 - 5⋅ (+2)dva + 2⋅ (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0
Opět dostaneme nulu. Dalším faktorem je tedy (x - 2).
Jelikož se jedná o polynom stupně tři, musíme najít pouze faktor. Nyní otestujeme hodnotu +4, abychom zjistili, zda ruší polynom:
P (+4) = (+4)3 - 5⋅ (+4)dva + 2⋅ (+4) + 8 = 64 - 80 + 8 + 8 = 0.
To znamená, že +4 je kořenem P (x), a proto je binomický (x - 4) dalším z jeho faktorů.
Už žádné hledání, protože jde o polynom stupně 3, který má nejvýše tři kořeny. V tomto cvičení se všechny kořeny ukázaly jako skutečné a celé číslo.
Polynom P (x) se proto započítává takto:
P (x) = x3 - 5 xdva + 2 x + 8 = (x + 1) (x - 2) (x - 4).
Nechť je polynom p⋅x3 - x + 2p. Určete hodnotu p tak, aby byl polynom dělitelný (x + 2).
Použijeme faktorovou větu, která říká, že pokud x = -2 zruší polynom, pak (x - (-2)) je faktorem uvedeného polynomu.
Potom dosadíme x za (-2) v původním polynomu, zjednodušíme ho a nastavíme na nulu:
p⋅ (-2)3 - (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0
Nyní je hodnota p vymazána, takže je splněna rovnost na nulu:
p = -2 / 10 = -⅕
To znamená, že polynom:
-⅕⋅x3 - x - ⅖
Je dělitelné (x + 2) nebo ekvivalentem: (x + 2) je jedním z jeho faktorů.
Zatím žádné komentáře