A vektor ve vesmíru je každý zastoupen souřadným systémem daným X, Y Y z. Téměř vždy letadlo xy je rovina vodorovného povrchu a osy z představuje výšku (nebo hloubku).
Kartézské souřadnicové osy zobrazené na obrázku 1 rozdělují prostor do 8 volaných oblastí oktanty, analogicky k tomu, jak osy X - Y rozdělit letadlo do 4 kvadrantů. Pak budeme mít 1. oktant, 2. oktant a tak dále.
Obrázek 1 obsahuje znázornění vektoru proti v prostoru. K vytvoření iluze tří dimenzí v rovině obrazovky je zapotřebí určité perspektivy, čehož je dosaženo nakreslením šikmého pohledu.
Pro vytvoření grafu 3D vektoru použijte tečkované čáry, které na mřížce určují souřadnice projekce nebo „stínu“ proti Přes povrch x-y. Tato projekce začíná v O a končí v zeleném bodě.
Jakmile tam budete, musíte pokračovat po vertikále do potřebné výšky (nebo hloubky) podle hodnoty z, dokud nedosáhne P. Vektor se kreslí počínaje od O a končící u P, který je v příkladu v 1. oktantu.
Rejstřík článků
Vektory v prostoru jsou široce používány v mechanice a jiných oborech fyziky a inženýrství, protože struktury, které nás obklopují, vyžadují geometrii ve třech rozměrech..
Vektory polohy v prostoru se používají k umístění objektů vzhledem k volanému referenčnímu bodu zdroj O. Proto jsou také nezbytnými nástroji v navigaci, ale to není vše.
Síly působící na struktury, jako jsou šrouby, konzoly, kabely, vzpěry a další, mají vektorovou povahu a jsou orientovány v prostoru. Abychom poznali jeho účinek, je nutné znát jeho adresu (a také jeho aplikační bod).
Směr síly je často znám podle znalosti dvou bodů v prostoru, které patří do její linie působení. Tímto způsobem je síla:
F = F nebo
Kde F je velikost nebo modul síly a nebo je jednotkový vektor (modulu 1) směrovaný podél linie působení F.
Než budeme pokračovat v řešení některých příkladů, krátce si projdeme 3D vektorovou notaci.
V příkladu na obrázku 1 má vektor v, jehož počáteční bod se shoduje s počátkem O a jehož konec je bod P, souřadnice X Y z pozitivní, zatímco souřadnice Y je negativní. Tyto souřadnice jsou: X1, Y1, z1, což jsou přesně souřadnice P.
Pokud tedy máme vektor spojený s počátkem, tj. Jehož počáteční bod se shoduje s O, je velmi snadné určit jeho souřadnice, kterými budou extrémní bod nebo P. Rozlišovat mezi bodem a vektorem, použijeme na poslední tučná písmena a závorky takto:
proti = < x1, Y1, z1 >
Zatímco bod P je označen závorkami:
P = (x1, Y1, z1)
Další reprezentace využívá jednotkové vektory i, j Y k které definují tři směry prostoru na osách X, Y Y z resp.
Tyto vektory jsou navzájem kolmé a tvoří a ortonormální základna (viz obrázek 2). To znamená, že 3D vektor lze z hlediska nich zapsat jako:
proti = vX i + protiY j + protiz k
Obrázek 2 také ukazuje směrové úhly γ1, ydva a y3 než vektor proti dělá příslušně s osami X, Y Y z. Znát tyto úhly a velikost vektoru je zcela určeno. Kosiny směrových úhlů navíc splňují následující vztah:
(cos γ1)dva + (cos γdva)dva + (cos γ3)dva = 1
Na obrázku 2 úhly γ1, ydva a y3 než vektor proti modulu 50 s osami souřadnic jsou: 75,0 °, 60,0 ° a 34,3 °. Najděte kartézské komponenty tohoto vektoru a představte je z hlediska jednotkových vektorů i, j Y k.
Vektorové projekce proti na ose X je VX = 50. cos 75º = 12 941. Podobně projekce proti na ose Y je VY = 50 cos 60 ° = 25 a nakonec na ose z je Vz = 50. cos 34,3 ° = 41,3. Nyní proti lze vyjádřit jako:
proti = 12,9 i + 25.0 j + 41.3 k
Najděte napětí v každém z kabelů, které drží vědro, na obrázku, který je v rovnováze, pokud je jeho hmotnost 30 N.
Na kbelíku to ukazuje diagram volného těla TD (zelená) kompenzuje váhu Ž (žlutá), proto TD = W = 30 N..
V uzlu vektor TD je směrován svisle dolů, pak:
TD = 30 (-k) N.
Chcete-li zjistit zbývající napětí, postupujte takto:
A = (4.5,0,3) (A je v rovině stěny x-z)
B = (1,5,0,0) (B je na ose x)
C = (0, 2,5, 3) (C je v rovině stěny a Z.)
D = (1,5; 1,5; 0) (D je ve vodorovné rovině x-y)
DÁVÁ = <3; -1.5; 3>
DC = <-1.5; 1; 3>
DB = <0; -1.5 ; 0>
Jednotkový vektor se získá výrazem: nebo = r / r, s r (tučně) je vektor a r (ne tučně) je modul uvedeného vektoru.
DA = (3dva + (-1,5)dva + 3dva)½ = 4,5; DC = ((- 1,5) dva + 1dva + 3dva)½ = 3,5
neboDÁVÁ = <3; -1.5; 3>4,5 = <0.67 ; -0.33 ; 0.67>
neboDC = <-1.5; 1; 3>3,5 = <-0.43; 0.29; 0.86>
neboDB = <0; -1; 0>
neboD = <0; 0; -1>
TDÁVÁ = TDÁVÁ neboDÁVÁ = TDÁVÁ<0.67 ; -0.33 ; 0.67>
TDC = TDC neboDC = TDC <-0.43; 0.29; 0.86>
TDB = TDB neboDB = TDB <0; -1; 0>
TD = 30 <0; 0; -1>
Nakonec je podmínka statické rovnováhy aplikována na vědro, takže vektorový součet všech sil v uzlu je nulový:
TDÁVÁ + TDC + TDB + TD = 0
Jelikož napětí jsou v prostoru, bude výsledkem systém tří rovnic pro každou složku (X, a a z) napětí.
0,67 T.DÁVÁ -0,43 T.DC + 0 T.DB = 0
-0,33 T.DÁVÁ + 0,29 T.DC - TDB = 0
0,67 T.DÁVÁ + 0,86 T.DC +0 T.DB - 30 = 0
Řešení je: TDÁVÁ = 14,9 N; TDÁVÁ = 23,3 N; TDB = 1,82 N
Zatím žádné komentáře