A primitivní F (x) funkce F(x) se také nazývá primitivní nebo jednoduše neurčitý integrál uvedené funkce, pokud je v daném intervalu Já, Je pravda, že F '(x) = f (x)
Vezměme si například následující funkci:
f (x) = 4x3
Antiderivátem této funkce je F (x) = x4, protože při odvozování F (x) pomocí pravidla odvození pro mocniny:
Získáme přesně f (x) = 4x3.
Jedná se však pouze o jednu z mnoha výhodných funkcí f (x), protože tato další funkce: G (x) = x4 + 2 je také proto, že při diferenciaci G (x) vzhledem k x je to stejné získáno zpět f (x).
Pojďme to zkontrolovat:
Pamatujte, že derivace konstanty je 0. Proto termín x4 můžete přidat libovolnou konstantu a její derivace zůstane 4x3.
Byl vyvozen závěr, že jakákoli funkce obecného tvaru F (x) = x4 + C, kde C je skutečná konstanta, slouží jako primitivní funkce f (x).
Ilustrativní příklad výše lze vyjádřit takto:
dF (x) = 4x3 dx
Antiderivativní nebo neurčitý integrál je vyjádřen symbolem ∫, proto:
F (x) = ∫4x3 dx = x4 + C
Kde funkce f (x) = 4x3 to se nazývá integrace, a C je konstanta integrace.
Rejstřík článků
Nalezení primitivní funkce je v některých případech, kdy jsou deriváty dobře známé, jednoduché. Nechť je například funkce f (x) = sin x, její primitivní funkcí je další funkce F (x), takže při její diferenciaci získáme f (x).
Tato funkce může být:
F (x) = - cos x
Zkontrolujme, zda je to pravda:
F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x
Proto můžeme psát:
∫sen x dx = -cos x + C
Kromě znalosti derivátů existuje několik základních a jednoduchých integračních pravidel pro nalezení primitivního nebo neurčitého integrálu.
Nechť k je skutečná konstanta, pak:
1. - ∫kdx = k ∫dx = kx + C
dva.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Pokud lze funkci h (x) vyjádřit jako sčítání nebo odčítání dvou funkcí, pak její neurčitý integrál je:
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Toto je vlastnost linearity.
The pravidlo moci pro integrály lze nastavit takto:
Pro případ n = -1 se použije následující pravidlo:
5. - ∫X -1 dx = ln x + C
Je snadné ukázat, že derivát ln x to je přesně X -1.
Diferenciální rovnice je rovnice, ve které se neznámé nachází jako derivace.
Z předchozí analýzy je nyní snadné si uvědomit, že inverzní operace k derivaci je primitivní nebo neurčitý integrál.
Nechť f (x) = y '(x), tj. Derivaci určité funkce. K označení této derivace můžeme použít následující notaci:
Z toho okamžitě vyplývá, že:
dy = f (x) dx
Neznámou diferenciální rovnicí je funkce y (x), jejíž derivace je f (x). Abychom to vyřešili, předchozí výraz je integrován na obou stranách, což je ekvivalentní použití antiderivátu:
∫dy = ∫f (x) dx
Levý integrál je vyřešen integračním pravidlem 1, kde k = 1, čímž se vyřeší požadovaná neznámá:
y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C
A protože C je skutečná konstanta, abychom věděli, která z nich je v každém případě vhodná, musí příkaz obsahovat dostatečné další informace pro výpočet hodnoty C. Toto se nazývá počáteční stav.
V následující části uvidíme příklady použití toho všeho.
Aplikujte pravidla integrace, abyste získali následující primitivní funkce nebo neurčité integrály daných funkcí, což co nejvíce zjednoduší výsledky. Je vhodné ověřit výsledek odvozením.
Nejprve použijeme pravidlo 3, protože integrand je součet dvou termínů:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Pro první integrál platí pravidlo pravomocí:
∫ xdx = (xdva / 2) + C.1
Pravidlo 1 platí pro druhý integrál, kde k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C.dva
A teď jsou výsledky přidány. Dvě konstanty jsou seskupeny do jedné, obecně nazývané C:
∫ (x + 7) dx = (xdva / 2) + 7x + C.
Podle linearity se tento integrál rozloží na tři jednodušší integrály, na které se bude vztahovat pravidlo síly:
∫ (x3/2 + Xdva + 6) dx = ∫x3/2 dx + ∫xdva dx + ∫6 dx =
Všimněte si, že pro každý integrál se objeví konstanta integrace, ale setkávají se v jednom volání C.
V tomto případě je vhodné použít distribuční vlastnost násobení k vytvoření integrand. Pravidlo síly se pak používá k vyhledání každého integrálu samostatně, jako v předchozím cvičení.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3xdva-2x + 3x-2) dx = ∫ (3xdva + x - 2) dx
Pozorný čtenář si všimne, že tyto dva ústřední termíny jsou podobné, proto jsou před integrací redukovány:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3xdva dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x3 + (1/2) xdva - 2x + C
Jedním ze způsobů řešení integrálu by bylo vyvinout sílu, jak tomu bylo v příkladu d. Protože je však exponent vyšší, bylo by vhodné proměnnou změnit, aby se nemusel tak dlouho vyvíjet.
Změna proměnné je následující:
u = x + 7
Odvození tohoto výrazu na obě strany:
du = dx
Integrál je transformován na jednodušší s novou proměnnou, která je řešena pomocí pravidla napájení:
∫ (x + 7)5 dx = ∫ u5 du = (1/6) u6 + C
Nakonec se změna vrátí a vrátí se k původní proměnné:
∫ (x + 7)5 dx = (1/6) (x + 7)6 + C
Částice je zpočátku v klidu a pohybuje se podél osy x. Jeho zrychlení pro t> 0 je dáno funkcí a (t) = cos t. Je známo, že při t = 0 je poloha x = 3, vše v jednotkách mezinárodního systému. Je žádáno, aby našel rychlost v (t) a polohu x (t) částice.
Protože zrychlení je první derivací rychlosti vzhledem k času, máme následující diferenciální rovnici:
a (t) = v '(t) = cos t
Z toho vyplývá, že:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C1
Na druhou stranu víme, že rychlost je zase derivací polohy, proto se znovu integrujeme:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C1) dt = ∫sen t dt + ∫C1 dt = - cos t + C1 t + C.dva
Konstanty integrace jsou určeny z informací uvedených v prohlášení. Nejprve se říká, že částice byla zpočátku v klidu, proto v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C.1 = 0
C1 = 0
Pak máme x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C.1 0 + C.dva = - 1 + C.dva = 3 → Cdva = 3 + 1 = 4
Funkce rychlosti a polohy jsou určitě takové:
v (t) = hřích t
x (t) = - cos t + 4
Zatím žádné komentáře