Délka akordu (geometrie), věta a cvičení

A tětiva, v geometrii roviny je to úsečka, která spojuje dva body na křivce. Řádek, který obsahuje tento segment, je považován za sečnanou přímku ke křivce. Toto je často kruh, ale akordy lze určitě nakreslit na mnoha dalších křivkách, jako jsou elipsy a paraboly..

Na obrázku 1 vlevo je křivka, ke které patří body A a B. Akord mezi A a B je zelený segment. Napravo je obvod a jeden z jeho řetězců, protože je možné kreslit nekonečně.

Po obvodu je obzvláště zajímavý jeho průměr, který je také známý jako hlavní akord. Je to akord, který vždy obsahuje střed obvodu a měří dvojnásobný poloměr.

Následující obrázek ukazuje poloměr, průměr, akord a také kruhový oblouk. Při řešení problémů je důležitá správná identifikace každého z nich.

Rejstřík článků

• 1 Délka akordu obvodu
  • 1.1 Řetězcová věta 
• 2 Vyřešená cvičení strun
  • 2.1 - Cvičení 1
  • 2.2 - Cvičení 2
• 3 Odkazy

Délka akordu obvodu

Můžeme vypočítat délku akordu v kruhu z obrázků 3a a 3b. Všimněte si, že trojúhelník je vždy vytvořen se dvěma stejnými stranami (rovnoramennými): segmenty OA a OB, které měří R, poloměr obvodu. Třetí strana trojúhelníku je segment AB, nazývaný C, což je přesně délka akordu.

Je nutné nakreslit přímku kolmou k tětivě C, aby se rozdělil úhel θ, který existuje mezi dvěma poloměry a jehož vrchol je středem O obvodu. Tohle je středový úhel -protože jeho vrchol je středový a přímka úhlu je také sečna k obvodu.

Okamžitě se vytvoří dva pravé trojúhelníky, jejichž přepona měří R. Jelikož půlící část a s ní i průměr rozděluje akord na dvě stejné části, ukazuje se, že jedna z nohou je polovina C, jak je znázorněno na obrázku 3b.

Z definice sinu úhlu:

sin (θ / 2) = protější noha / přepona = (C / 2) / R

Proto:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Řetězcová věta 

Řetězcová věta vypadá takto:

Pokud se v bodě protnou libovolné dva akordy kruhu, součin délky segmentů, které se objevují na jednom z akordů, se rovná součinu délek segmentů, které jsou definovány na druhém akordu..

Následující obrázek ukazuje dva akordy stejného obvodu: AB a CD, které se protínají v bodě P. V akordu AB jsou definovány segmenty AP a PB, zatímco v akordu jsou definovány CP a PD. Podle věty tedy:

AP. PB = CP. P.S.

Vyřešená cvičení strun

- Cvičení 1

Obvod má 48 cm strunu, která je 7 cm od středu. Vypočítejte plochu kruhu a obvod obvodu.

Řešení  

Pro výpočet plochy kružnice A stačí znát poloměr obvodu na druhou, protože je to pravda:

A = π.R^dva

Nyní je obrazec, který je vytvořen s poskytnutými údaji, pravý trojúhelník, jehož nohy jsou 7 a 24 cm.

Proto najít hodnotu R^dva Pythagorova věta se aplikuje přímo c^dva = a^dva + b^dva, protože R je přepona trojúhelníku:

R^dva = (7 cm)^dva + (24 cm)^dva = 625 cm^dva

Požadovaná oblast je tedy:

A = π. 625 cm^dva = 1963,5 cm^dva

Pokud jde o obvod nebo délku L obvodu, vypočítává se z:

L = 2π. R

Nahrazení hodnot:

R = √ 625 cm^dva = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Cvičení 2

Určete délku tětivy kruhu, jehož rovnice je:

X^dva + Y^dva - 6x - 14y -111 = 0

Souřadnice středu akordu jsou známy jako P (17/2; 7/2).

Řešení

Střed akordu P ne patří do obvodu, ale koncové body akordu ano. Úloha může být vyřešena pomocí výše uvedené větné věty, ale nejprve je vhodné napsat rovnici obvodu v kanonické formě, určit její poloměr R a jeho střed O.

Krok 1: Získejte kanonickou rovnici obvodu

Kanonická rovnice kruhu se středem (h, k) je:

(x-h)^dva + (y-k)^dva = R.^dva

K jeho získání je nutné vyplnit čtverce:

(X^dva - 6x) + (a^dva - 14y) -111 = 0

Všimněte si, že 6x = 2. (3x) a 14y = 2. (7y), takže předchozí výraz je takto přepsán a zůstane beze změny:

(X^dva - 6x + 3^dva-3^dva) + (a^dva - 14 let + 7^dva-7^dva) -111 = 0

A teď si pamatuji definici pozoruhodného produktu (a-b)^dva = a^dva - 2ab + b^dva Může být napsáno:

(x - 3)^dva - 3^dva + (a - 7)^dva - 7^dva - 111 = 0

= (x - 3)^dva + (a - 7)^dva = 111 + 3^dva + 7^dva → (x - 3)^dva + (a - 7)^dva = 169

Obvod má střed (3,7) a poloměr R = √169 = 13. Následující obrázek ukazuje graf obvodu a akordů, které budou použity ve větě:

Krok 2: Určete segmenty, které se mají použít v řetězcové větě

Segmenty, které se mají použít, jsou řetězce CD a AB, podle obrázku 6, oba jsou vyříznuty v bodě P, proto:

CP. PD = AP. PB

Nyní zjistíme vzdálenost mezi body O a P, protože to nám dá délku segmentu OP. Pokud k této délce přidáme poloměr, vznikne segment CP.

Vzdálenost d_OP mezi dvěma souřadnými body (x₁,Y₁) a (x_dva,Y_dva) to je:

d_OP^dva = OP^dva = (x_dva - X₁)^dva + (Y_dva - Y₁)^dva = (3-17/2)^dva + (7. 7./2)^dva = 121/4 + 49/4 = 170/4

d_OP = OP = √ 170/2

Se všemi získanými výsledky a grafem vytvoříme následující seznam segmentů (viz obrázek 6):

CO = 13 cm = R

OP = √ 170/2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √ 170/2 cm

AP = PB

2. AP = délka akordu

Nahrazení v řetězcové větě:

CP. PD = AP. PB = [(13 + √ 170/2). (13 -√170 / 2)] = AP^dva

[169 -170/4] = AP^dva

253/2 = AP^dva

AP = √ (253/2)

Délka akordu je 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Mohl by čtenář vyřešit problém jiným způsobem?

Reference

1. Baldor, A. 2004. Geometrie roviny a prostoru pomocí trigonometrie. Publicaciones Cultural S.A. de C.V. Mexiko.
2. C-K12. Délka akordu. Obnoveno z: ck12.org.
3. Escobar, J. Obvod. Obnoveno z: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Obnoveno z: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Lano (geometrie). Obnoveno z: es.wikipedia.org.