Dva události jsou nezávislé, když pravděpodobnost jednoho z nich není ovlivněna skutečností, že k druhému dojde - nebo nedojde -, vzhledem k tomu, že k těmto událostem dochází náhodně.
Tato okolnost nastává, kdykoli proces, který generuje výsledek události 1, nijak nezmění pravděpodobnost možných výsledků události 2. Pokud se tak ale nestane, říká se, že události jsou závislé..
Situace nezávislé události je následující: Předpokládejme, že jsou hodeny dvě šestistranné kostky, jedna modrá a druhá růžová. Pravděpodobnost, že se 1 bude házet po modré matrici, je nezávislá na pravděpodobnosti, že se 1 bude házet - nebo nebude házet - na růžové matrici..
Dalším případem dvou nezávislých událostí je případ, kdy hodíte minci dvakrát za sebou. Výsledek prvního hodu nebude záviset na výsledku druhého a naopak.
Rejstřík článků
Abychom ověřili, že dvě události jsou nezávislé, definujeme koncept podmíněné pravděpodobnosti jedné události s ohledem na druhou. K tomu je nutné rozlišovat mezi exkluzivními událostmi a inkluzivními událostmi:
Dvě události jsou exkluzivní, pokud možné hodnoty nebo prvky události A nemají nic společného s hodnotami nebo prvky události B.
Proto ve dvou exkluzivních událostech je množina křižovatky A s B vakuum:
Vyloučené události: A∩B = Ø
Naopak, pokud jsou události inkluzivní, může se stát, že výsledek události A se shoduje také s výsledkem jiné B, přičemž A a B jsou odlišné události. V tomto případě:
Inkluzivní akce: A∩B ≠ Ø
To nás vede k definování podmíněné pravděpodobnosti dvou inkluzivních událostí, jinými slovy, pravděpodobnosti výskytu události A, kdykoli dojde k události B:
P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)
Podmíněná pravděpodobnost je tedy pravděpodobnost, že A nastane, a B vydělená pravděpodobností, že nastane B. Pravděpodobnost, že B nastane podmíněně na A, lze také definovat:
P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)
Dále dáme tři kritéria, abychom věděli, zda jsou dvě události nezávislé. Stačí, aby byla splněna jedna ze tří, aby byla prokázána nezávislost událostí.
1. - Pokud se pravděpodobnost, že A nastane, kdykoli nastane B, rovná pravděpodobnosti A, pak se jedná o nezávislé události:
P (A¦B) = P (A) => A je nezávislé na B
2. - Pokud se pravděpodobnost, že B nastane při dané A, rovná pravděpodobnosti B, pak existují nezávislé události:
P (B¦A) = P (B) => B je nezávislé na A
3.- Pokud se pravděpodobnost výskytu A a B rovná součinu pravděpodobnosti výskytu A a pravděpodobnosti výskytu B, pak jde o nezávislé události. Opak je také pravdivý.
P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A a B jsou nezávislé události.
Srovnávají se gumové podešve vyrobené dvěma různými dodavateli. Vzorky každého výrobce jsou podrobeny několika zkouškám, z nichž se vyvozuje, zda odpovídají specifikacím.
Výsledné shrnutí 252 vzorků je následující:
Výrobce 1; 160 splňuje specifikace; 8 nesplňují specifikace.
Výrobce 2; 80 splňuje specifikace; 4 nesplňují specifikace.
Událost A: „že vzorek pochází od výrobce 1“.
Událost B: „vzorek splňuje specifikace“.
Chcete vědět, zda jsou tyto události A a B nezávislé nebo ne, pro které použijeme jedno ze tří kritérií uvedených v předchozí části.
Kritérium: P (B¦A) = P (B) => B je nezávislé na A
P (B) = 240/252 = 0,9523
P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523
Závěr: Události A a B jsou nezávislé.
Předpokládejme událost C: „že vzorek pochází od výrobce 2“
Bude událost B nezávislá na události C?
Aplikujeme jedno z kritérií.
Kritérium: P (B¦C) = P (B) => B je nezávislé na C
P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)
Na základě dostupných údajů je tedy pravděpodobnost, že náhodně vybraná gumová podrážka splňuje specifikace, nezávislá na výrobci..
Podívejme se na následující příklad, abychom rozlišili mezi událostmi závislé osoby a nezávislý.
Máme tašku se dvěma kuličkami z bílé čokolády a dvěma kuličkami z černé čokolády. Pravděpodobnost potažení bílé koule nebo černé koule je při prvním pokusu stejná.
Předpokládejme, že výsledkem byla bílá koule. Pokud je nakreslená koule nahrazena v sáčku, opakuje se původní situace: dvě bílé koule a dvě černé koule.
Takže ve druhé události nebo remíze je šance na tažení bílé nebo černé koule stejná jako poprvé. Jedná se tedy o nezávislé události.
Pokud však bílá koule nakreslená v první události není nahrazena, protože jsme ji snědli, ve druhé remíze jsou větší šance na kreslení černé koule. Pravděpodobnost, že při druhé extrakci bude znovu získána bílá, se liší od pravděpodobnosti první události a je podmíněna předchozím výsledkem.
Do rámečku vložíme 10 kuliček z obrázku 1, z nichž 2 jsou zelené, 4 modré a 4 bílé. Náhodně budou vybrány dva kuličky, jeden první a jeden později. Ptá se najít
pravděpodobnost, že žádný z nich není modrý, za následujících podmínek:
a) S náhradou, to znamená vrácení prvního mramoru před druhým výběrem do pole. Uveďte, zda se jedná o nezávislé nebo závislé události.
b) Bez náhrady takovým způsobem, že první extrahovaný mramor je při provedení druhého výběru vynechán z krabice. Podobně uveďte, zda se jedná o závislé nebo nezávislé události.
Vypočítáme pravděpodobnost, že první extrahovaný mramor není modrý, což je 1 minus pravděpodobnost, že je modrý P (A), nebo přímo, že není modrý, protože vyšel zeleně nebo bíle:
P (A) = 4/10 = 2/5
P (nebuďte modří) = 1 - (2/5) = 3/5
Dobře:
P (zelená nebo bílá) = 6/10 = 3/5.
Pokud se vytěžený mramor vrátí, vše je jako předtím. V této druhé extrakci existuje také 3/5 pravděpodobnost, že extrahovaný mramor není modrý.
P (ne modrý, ne modrý) = (3/5). (3/5) = 9/25.
Události jsou nezávislé, protože vytěžený mramor byl vrácen do krabice a první událost nemá vliv na pravděpodobnost výskytu druhé.
U první extrakce postupujte stejně jako v předchozí části. Pravděpodobnost, že není modrá, je 3/5.
Pro druhou extrakci máme v sáčku 9 kuliček, protože první se nevrátil, ale nebyl modrý, proto ve vaku je 9 kuliček a 5 není modrý:
P (zelená nebo bílá) = 5/9.
P (žádný není modrý) = P (první není modrý). P (druhý není modrý / první není modrý) = (3/5). (5/9) = 1/3
V tomto případě se nejedná o nezávislé události, protože první událost podmíňuje druhou..
Obchod má 15 triček ve třech velikostech: 3 malé, 6 středních a 6 velkých. Náhodně jsou vybrány 2 košile.
a) Jaká je pravděpodobnost, že obě vybrané košile jsou malé, pokud je jedna odebrána jako první a bez výměny v dávce další?
b) Jaká je pravděpodobnost, že obě vybraná trička jsou malá, pokud je jedna vylosována jako první, je nahrazena v dávce a druhá je vylosována?
Zde jsou dvě události:
Událost A: první vybrané tričko je malé
Událost B: druhé vybrané tričko je malé
Pravděpodobnost události A je: P (A) = 3/15
Pravděpodobnost, že dojde k události B, je: P (B) = 2/14, protože košile už byla odstraněna (zbývá jich 14), ale navíc chceme, aby byla splněna událost A, první odstraněná košile musí být malá a proto zbývá tolik 2 malých.
To znamená, že pravděpodobnost, že A a B budou součinem pravděpodobností, je:
P (A a B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029
Proto je pravděpodobnost, že dojde k události A a B, stejná jako produkt, ke kterému dojde k události A, krát pravděpodobnost, že k události B dojde, pokud dojde k události A..
Je třeba poznamenat, že:
P (B¦A) = 2/14
Pravděpodobnost, že k události B dojde bez ohledu na to, zda dojde k události A, bude:
P (B) = (2/14), pokud byl první malý, nebo P (B) = 3/14, pokud první nebyl malý.
Obecně lze uzavřít následující:
P (B¦A) se nerovná P (B) => B není nezávislý na A
Opět existují dvě události:
Událost A: první vybrané tričko je malé
Událost B: druhé vybrané tričko je malé
P (A) = 3/15
Pamatujte, že bez ohledu na výsledek je košile vylosovaná z dávky nahrazena a znovu je náhodně vylosována košile. Pravděpodobnost, že dojde k události B, pokud došlo k události A, je:
P (B¦A) = 3/15
Pravděpodobnost, že dojde k událostem A a B, bude:
P (A a B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04
Všimněte si, že:
P (B¦A) se rovná P (B) => B je nezávislé na A.
Zvažte dvě nezávislé události A a B. Je známo, že pravděpodobnost, že dojde k události A, je 0,2 a pravděpodobnost, že dojde k události B, je 0,3. Jaká je pravděpodobnost, že dojde k oběma událostem??
S vědomím, že události jsou nezávislé, je známo, že pravděpodobnost, že dojde k oběma událostem, je výsledkem jednotlivých pravděpodobností. A to,
P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06
Všimněte si, že je to mnohem menší pravděpodobnost než pravděpodobnost, že ke každé události dojde bez ohledu na výsledek druhé. Nebo jinými slovy, mnohem nižší než individuální šance.
Zatím žádné komentáře