Výpočet inverzní matice a vyřešené cvičení

The Inverzní matice dané matice je to matice, která se vynásobí původními výsledky v matici identity. Inverzní matice je užitečná pro řešení systémů lineárních rovnic, proto je důležité vědět, jak ji vypočítat.

Matice jsou velmi užitečné ve fyzice, inženýrství a matematice, protože jsou kompaktním nástrojem pro řešení složitých problémů. Užitečnost matic je vylepšena, když jsou invertibilní a je známa také jejich inverzní funkce.

V oblastech grafického zpracování, velkých dat, dolování dat, strojového učení a dalších se používají efektivní a rychlé algoritmy k vyhodnocení inverzní matice matic nxn s velmi velkým n, řádově v tisících nebo milionech.

Abychom ilustrovali použití inverzní matice při manipulaci se systémem lineárních rovnic, začneme nejjednodušším případem ze všech: matice 1 × 1.

Nejjednodušší případ: uvažuje se lineární rovnice jedné proměnné: 2 x = 10.

Myšlenkou je najít hodnotu x, ale bude to provedeno „maticově“. 

Matice M = (2), která násobí vektor (x), je matice 1 × 1, která vede k vektoru (10):

M (x) = (10)

Inverze matice M je označena M.^-1.

Obecný způsob psaní tohoto „lineárního systému“ je:

M X = B, kde X je vektor (x) a B je vektor (10).

Podle definice je inverzní matice ta, která vynásobená původní maticí vede k matici identity I:

M^-1 M = já

V uvažovaném případě bude matice M^-1 je matice (½), tj. M^-1 = (½) od M^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Abychom našli neznámý vektor X = (x), v navrhované rovnici jsou oba členy vynásobeny inverzní maticí:

M^-1 M (x) = M^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Bylo dosaženo rovnosti dvou vektorů, které jsou si rovny, pouze když jsou jejich odpovídající prvky stejné, tj. X = 5.

Výpočet inverze matice

To, co motivuje výpočet inverzní matice, je najít univerzální metodu řešení lineárních systémů, jako je následující systém 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

V návaznosti na kroky případu 1 × 1, které jsme studovali v předchozí části, napíšeme systém rovnic v maticové podobě:

Všimněte si, že tento systém je napsán v kompaktní vektorové notaci takto:

M X = B

kde

Dalším krokem je nalezení inverzní funkce M.

Metoda 1: Použití Gaussovy eliminace

Bude použita Gaussova eliminační metoda. Které se skládají z provádění základních operací na řádcích matice, jsou tyto operace:

- Vynásobte řádek nenulovým číslem.

- Přidat nebo odečíst od jednoho řádku další řádek nebo násobek jiného řádku.

- Zaměňte řádky.

Cílem je prostřednictvím těchto operací převést původní matici na matici identity. 

Jak se to dělá, v matici M se na matici identity aplikují přesně stejné operace. Když se po několika operacích na řádcích M transformuje na unitární matici, pak ta, která byla původně jednotkou, se transformuje na inverzní matici M, tj. M^-1.

1- Začneme proces napsáním matice M a vedle ní jednotkové matice:

2- Přidáme dva řádky a výsledek vložíme do druhého řádku, tímto způsobem získáme nulu v prvním prvku druhého řádku:

3- Vynásobíme druhou řadu -1, abychom získali 0 a 1 ve druhé řadě:

4- První řádek se vynásobí ½:

5- Přidá se druhý a první a výsledek se umístí do prvního řádku:

6- Chcete-li proces dokončit, vynásobte první řádek číslem 2, abyste získali matici identity v první řadě a inverzní matici původní matice M ve druhé:

A to:

Systémové řešení

Jakmile je získána inverzní matice, přistoupíme k řešení systému rovnic použitím inverzní matice na oba členy kompaktní vektorové rovnice:

M^-1M X = M^-1B

X = M^-1B

Který výslovně vypadá takto:

Pak se provede násobení matic, aby se získal vektor X:

Metoda 2: Použití připojené matice

V této druhé metodě se inverzní matice počítá od sousední matice původní matice NA.

Předpokládejme matici A danou:

kam_{já, j} je prvek řádku i a sloupec j matice NA.

Adjoint matice NA bude se to jmenovat Adj (A) a jeho prvky jsou:

inzerát_{já, j} = (-1)^{(i + j)} „Ai, j¦

kde Ai, j je doplňková minoritní matice získaná vyloučením řádku i a sloupce j z původní matice NA. Sloupce ¦ ¦ označují, že se vypočítá determinant, tj „Ai, j¦ je determinant doplňkové minoritní matice.

Vzorec inverzní matice

Vzorec pro nalezení inverzní matice počínaje od sousední matice původní matice je následující:

To znamená, že inverzní matice NA, NA^-1, je transpozice adjunktu z NA děleno determinantem NA.

Provedení NA^Tmatice NA je ten, který se získá výměnou řádků za sloupce, tj. první řádek se stane prvním sloupcem a druhý řádek se stane druhým sloupcem atd., dokud nebude dokončeno n řádků původní matice.

Cvičení vyřešeno

Nechť je matice A následující:

Každý a každý prvek adjointové matice A se vypočítá: Adj (A)

Výsledkem je, že adjointová matice A, Adj (A) je následující:

Poté se vypočítá determinant matice A, det (A):

Nakonec se získá inverzní matice A:

Reference

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinanty a matice. Předat publikaci.
2. Awol Assen (2013) Studie o výpočtu determinantů 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Úvod do lineární algebry. ESIC Editorial.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most Mind-Expansion Theories in Mathematics. Ivy tisk omezen.
7. Matice. Lap Lambert Academic Publishing.