The komplexní čísla jsou numerická sada, která zahrnuje reálná čísla a všechny kořeny polynomů, včetně sudých kořenů záporných čísel. Tyto kořeny neexistují v množině reálných čísel, ale ve složitých číslech existuje řešení.
Komplexní číslo se skládá z reálné části a části zvané „imaginární“. Skutečná část se nazývá na, například a imaginární část ib, s na Y b reálná čísla a „i“ líbí imaginární jednotka. Tímto způsobem má komplexní číslo formu:
z = a + ib
Příklady komplexních čísel jsou 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Ale než s nimi budeme pracovat, podívejme se, odkud imaginární jednotka pochází i, vzhledem k této kvadratické rovnici:
Xdva - 10x + 34 = 0
Ve kterém a = 1, b = -10 a c = 34.
Při použití řešení vzorce k určení řešení najdeme následující:
Jak určit hodnotu √-36? Neexistuje žádné reálné číslo, které by mělo za následek záporné množství. Poté se dospělo k závěru, že tato rovnice nemá žádná skutečná řešení.
Můžeme to však napsat:
√-36 = √-6dva = √6dva (-1) = 6√-1
Pokud definujeme určitou hodnotu X takové, že:
Xdva = -1
Pak:
x = ± √-1
A výše uvedená rovnice by měla řešení. Proto byla imaginární jednotka definována jako:
i = √-1
A tak:
√-36 = 6i
Mnoho matematiků ze starověku pracovalo na řešení podobných problémů, zejména renesanční Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) a Raffaele Bombelli (1526-1572).
O několik let později nazval René Descartes (1596-1650) veličiny jako √-36 v příkladu „imaginární“. Z tohoto důvodu je √-1 známá jako imaginární jednotka.
Rejstřík článků
-Sada komplexních čísel je označena C a zahrnuje reálná čísla R a imaginární čísla Im. Sady čísel jsou zastoupeny Vennovým diagramem, jak ukazuje následující obrázek:
-Každé komplexní číslo se skládá ze skutečné části a imaginární části.
-Když je imaginární část komplexního čísla 0, jedná se o čisté reálné číslo.
-Pokud je skutečná část komplexního čísla 0, pak je číslo čistě imaginární.
-Dvě komplexní čísla jsou stejná, pokud jsou jejich příslušná reálná část a imaginární část stejné.
-U komplexních čísel se provádějí známé operace sčítání, odčítání, násobení, součin a vylepšení, což má za následek další komplexní číslo.
Složitá čísla lze reprezentovat různými způsoby. Zde jsou hlavní:
Je to forma daná na začátku, kde z je komplexní číslo, na je to skutečná část, b je imaginární část e i je imaginární jednotka:
z = a + ib
Nebo také:
z = x + iy
Jedním ze způsobů, jak zobrazit komplexní číslo, je složitá rovina zobrazená na tomto obrázku. Imaginární osa Im je svislá, zatímco skutečná osa je vodorovná a označuje se jako Re.
Složité číslo z je v této rovině znázorněn jako bod souřadnic (x, y) nebo (a, b), jak se to děje s body skutečné roviny.
Vzdálenost od počátku do bodu z je modul komplexního čísla, označený jako r, zatímco φ je úhel, který se tvoří r se skutečnou osou.
Tato reprezentace úzce souvisí s reprezentací vektorů ve skutečné rovině. Hodnota r odpovídá modul komplexního čísla.
Polární forma se skládá z vyjádření komplexního čísla udáním hodnot r a ze dne φ. Podíváme-li se na obrázek, hodnota r odpovídá přeponě pravoúhlého trojúhelníku. Nohy stojí za to na Y b, dobře X Y Y.
Z binomické nebo binomické formy můžeme přejít do polární formy pomocí:
r = √xdva+Ydva
Úhel φ Je to ten, který tvoří segment r s vodorovnou osou nebo imaginární osou. Je znám jako argument komplexního čísla. Takto:
φ = arctg (y / x)
Argument má nekonečné hodnoty, přičemž se bere v úvahu, že pokaždé, když se otočí tah, který má hodnotu 2π radiánů, r zaujímá opět stejnou pozici. Tímto obecným způsobem je argument z, označený Arg (z), vyjádřen takto:
Arg (z) = φ + 2kπ
Kde k je celé číslo a používá se k označení počtu otočených závitů: 2, 3, 4…. Značka označuje směr otáčení, pokud je ve směru nebo proti směru hodinových ručiček.
A pokud chceme přejít z polární formy do binomické formy, použijeme trigonometrické poměry. Z předchozího obrázku vidíme, že:
x = r cos φ
y = r sin φ
Tímto způsobem z = r (cos φ + i sin φ)
Který je takto zkrácen:
z = r cis φ
Následující komplexní čísla jsou uvedena v binomické formě:
a) 3 + i
b) 4
d) -6i
A tyto v podobě objednaného páru:
a) (-5, -3)
b) (0, 9)
c) (7,0)
Nakonec je tato skupina uvedena v polárním nebo trigonometrickém tvaru:
a) √2 cis 45º
b) √3 cis 30º
c) 2 cis 315 °
Užitečnost komplexních čísel jde nad rámec řešení kvadratické rovnice zobrazené na začátku, protože je nezbytná v oblasti inženýrství a fyziky, zejména v:
-Studium elektromagnetických vln
-Analýza střídavého proudu a napětí
-Modelování všech druhů signálů
-Teorie relativity, kde se čas považuje za imaginární velikost.
Se složitými čísly můžeme provádět všechny operace prováděné se skutečnými. Některé je snazší udělat, pokud čísla přicházejí v binomické formě, například sčítání a odčítání. Namísto toho je násobení a dělení jednodušší, pokud se provádí s polárním tvarem.
Podívejme se na několik příkladů:
Přidejte z1 = 2 + 5i a zdva = -3 -8i
Skutečné části se přidávají odděleně od imaginárních částí:
z1 + zdva = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i
Vynásobte z1 = 4 cis 45 ° a zdva = 5 cis 120 °
Je možné ukázat, že součin dvou komplexních čísel v polárním nebo trigonometrickém tvaru je dán vztahem:
z1 . zdva = r1.rdva cis (φ1 + φdva)
Podle tohoto:
z1 . zdva = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165 °
Jednoduchou aplikací komplexních čísel je najít všechny kořeny polynomiální rovnice, jako je ta, která je uvedena na začátku článku.
V případě rovnice xdva - 10x + 34 = 0, při použití řešení vzorce získáme:
Řešení tedy jsou:
X1 = 5 + 3i
Xdva = 5 - 3i
Zatím žádné komentáře