The racionální čísla jsou všechna čísla, která lze získat jako dělení dvou celých čísel. Příklady racionálních čísel jsou: 3/4, 8/5, -16/3 a čísla uvedená na následujícím obrázku. V racionálním čísle je uveden podíl, který je možné v případě potřeby provést později.
Obrázek představuje jakýkoli objekt, pro větší pohodlí kulatý. Pokud ji chceme rozdělit na 2 stejné části, jako na pravé straně, zbývají nám dvě poloviny a každá má hodnotu 1/2.
Jeho rozdělením na 4 stejné části získáme 4 kusy a každý z nich má hodnotu 1/4, jako na obrázku uprostřed. A pokud je to nutné rozdělit na 6 stejných částí, protože každá část by měla hodnotu 1/6, což vidíme na obrázku vlevo.
Samozřejmě bychom jej mohli rozdělit na dvě nerovné části, například bychom si mohli ponechat 3/4 části a 1/4 části uložit. Jsou možná i další rozdělení, například 4/6 dílů a 2/6 dílů. Důležité je, že součet všech částí je 1.
Tímto způsobem je zřejmé, že s racionálními čísly lze věci jako jídlo, peníze, půdu a všechny druhy předmětů rozdělit, spočítat a rozdělit ve zlomcích. A tím se rozšíří počet operací, které lze s čísly provést.
Racionální čísla lze vyjádřit také v desítkové formě, jak je patrné z následujících příkladů:
1/2 = 0,5
1/3 = 0,3333…
3/4 = 0,75
1/7 = 0,142857142857142857…
Později si pomocí příkladů ukážeme, jak přejít z jedné formy do druhé.
Rejstřík článků
Racionální čísla, jejichž množinu označíme písmenem Q, mají následující vlastnosti:
-Q zahrnuje přirozená čísla N a celá čísla Z.
S přihlédnutím k tomu libovolnému číslu na Lze jej vyjádřit jako podíl mezi sebou a 1, je dobře vidět, že mezi racionálními čísly jsou i přirozená čísla a celá čísla.
Přirozené číslo 3 tedy lze zapsat jako zlomek a také -5:
3 = 3/1
-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)
Tímto způsobem je Q číselná množina, která obsahuje větší počet čísel, což je něco velmi nezbytného, protože „kulatá“ čísla nestačí k popisu všech možných operací..
-Racionální čísla lze sčítat, odečítat, vynásobit a dělit, přičemž výsledkem operace bude racionální číslo: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.
-Mezi každou dvojicí racionálních čísel lze vždy najít další racionální číslo. Ve skutečnosti jsou mezi dvěma racionálními čísly nekonečná racionální čísla.
Například mezi racionálními 1/4 a 1/2 jsou racionální 3/10, 7/20, 2/5 (a mnoho dalších), které lze ověřit jejich vyjádřením jako desetinná místa.
-Libovolné racionální číslo lze vyjádřit jako: i) celé číslo nebo ii) omezené (přísné) nebo periodické desetinné číslo: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666…
-Stejný počet může být reprezentován nekonečnými ekvivalentními zlomky a všechny patří do Q. Podívejme se na tuto skupinu:
Všechny představují desetinné číslo 0,428571 ...
-Ze všech ekvivalentních zlomků, které představují stejné číslo, je neredukovatelný zlomek, nejjednodušší ze všech, kanonický zástupce tohoto čísla. Kanonický zástupce výše uvedeného příkladu je 3/7.
-Správné zlomky, ty, ve kterých je čitatel menší než jmenovatel:
-Nesprávné zlomky, jejichž čitatel je větší než jmenovatel:
-Přirozená čísla a celá čísla:
-Ekvivalentní zlomky:
Když je čitatel dělen jmenovatelem, je nalezena desítková forma racionálního čísla. Například:
2/5 = 0,4
3/8 = 0,375
1/9 = 0,11111…
6/11 = 0,545454…
V prvních dvou příkladech je počet desetinných míst omezený. To znamená, že když je dělení hotové, konečně dostaneme zbytek 0.
Na druhou stranu, v následujících dvou je počet desetinných míst nekonečný, a proto jsou umístěny elipsy. V druhém případě je na desetinných místech vzor. V případě zlomku 1/9 se číslo 1 opakuje neomezeně, zatímco v 6/11 je to 54.
Když k tomu dojde, říká se, že desetinné číslo je periodické a je označeno stříškou, jako je tato:
Pokud se jedná o omezené desetinné místo, čárka se jednoduše odstraní a jmenovatel se stane jednotkou následovanou tolika nulami, kolik je číslic v desetinné čárce. Chcete-li například transformovat desetinnou čárku na zlomek, napište ji takto:
1,26 = 126/100
Potom se výsledný zlomek maximálně zjednoduší:
126/100 = 63/50
Pokud je desetinné místo neomezené, je nejprve identifikováno období. Poté postupujte podle těchto kroků, abyste našli výsledný zlomek:
-Čitatel je odčítání mezi číslem (bez čárky nebo stříšky) a částí, která nenese přízvuk háčkem.
-Jmenovatel je celé číslo s tolika 9, kolik je číslic pod háčkem a tolik 0, kolik je číslic desetinná část existují takové, které nejsou pod háčkem.
Postupujme podle tohoto postupu a převedeme desetinné číslo 0,428428428… na zlomek.
-Nejprve je identifikováno období, což je sekvence, která se opakuje: 428.
-Potom se provede operace odečtení čísla bez čárky nebo přízvuku: 0428 od části, která nemá háček, což je 0. Je tedy 428 - 0 = 428.
-Jmenovatel je konstruován s vědomím, že pod háčkem jsou 3 číslice a všechny jsou pod háčkem. Jmenovatel je tedy 999.
-Nakonec je zlomek vytvořen a pokud je to možné zjednodušeno:
0,428 = 428/999
Není možné více zjednodušit.
Pokud mají zlomky stejného jmenovatele, jejich přidávání a / nebo odčítání je velmi snadné, protože čitatelé se jednoduše přidávají algebraicky, přičemž stejné jako sčítání zůstávají jako jmenovatel výsledku. Nakonec je to pokud možno zjednodušeno.
Proveďte následující algebraické přidání a zjednodušte výsledek:
Výsledná frakce je již neredukovatelná.
V tomto případě jsou doplňky nahrazeny ekvivalentními zlomky se stejným jmenovatelem a poté se postupuje již popsaným způsobem.
Přidejte algebraicky následující racionální čísla, což zjednoduší výsledek:
Kroky jsou:
-Určete nejmenší společný násobek (LCM) jmenovatelů 5, 8 a 3:
lcm (5,8,3) = 120
Toto bude jmenovatelem výsledného zlomku bez zjednodušení.
-Pro každou frakci: vydělte LCM jmenovatelem a vynásobte čitatelem. Výsledek této operace je umístěn s příslušným znaménkem v čitateli zlomku. Tímto způsobem se získá zlomek ekvivalentní originálu, ale s LCM jako jmenovatelem..
Například pro první zlomek je čitatel konstruován takto: (120/5) x 4 = 96 a dostaneme:
Stejným způsobem postupujte u zbývajících zlomků:
Nakonec se ekvivalentní zlomky nahradí, aniž by se zapomnělo na jejich znaménko, a provede se algebraický součet čitatelů:
(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =
= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12
Násobení a dělení se provádí podle níže uvedených pravidel:
V každém případě je důležité si uvědomit, že násobení je komutativní, což znamená, že pořadí faktorů nemění produkt. To se u dělení nestává, proto je třeba dbát na respektování pořadí mezi dividendou a dělitelem.
Proveďte následující operace a zjednodušte výsledek:
a) (5/3) x (8/15)
b) (-4/5) ÷ (2/9)
(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8
(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36/10 = -18/5
Luisa měla 45 $. Desatinu z toho strávil nákupem knihy a 2/5 toho, co zbylo na tričku. Kolik peněz Luisa zbývá? Výsledek vyjádřete jako neredukovatelný zlomek.
Cena knihy (1/10) x 45 $ = 0,1 x 45 = 4,5 $
Proto Luise zůstalo:
45 - 4,5 $ = 40,5 $
Za tyto peníze šla Luisa do obchodu s oděvy a koupila si tričko, jehož cena je:
(2/5) x 40,5 $ = 16,2 $
Nyní má Luisa ve svém portfoliu:
40,5 - 16,2 $ = 24,3 $
Abych to vyjádřil jako zlomek, je napsán takto:
24,3 = 243/10
To je neredukovatelné.
Zatím žádné komentáře