A rovnoběžnostěn je to geometrické těleso tvořené šesti plochami, jejichž hlavní charakteristikou je, že všechny jeho tváře jsou rovnoběžníky a také že její protilehlé tváře jsou navzájem rovnoběžné. Je to běžný mnohostěn v našem každodenním životě, protože ho můžeme najít v krabičkách na boty, ve tvaru cihly, ve tvaru mikrovlnky atd..
Jako mnohostěn uzavírá rovnoběžnostěn konečný objem a všechny jeho plochy jsou ploché. Je součástí skupiny hranolů, kterými jsou mnohostěny, ve kterých jsou všechny jeho vrcholy obsaženy ve dvou rovnoběžných rovinách.
Rejstřík článků
Jsou to každá z oblastí tvořených rovnoběžníky, které omezují rovnoběžnostěny. Rovnoběžník má šest tváří, kde každá tvář má čtyři sousední tváře a jednu opačnou. Každá tvář je rovnoběžná s protikladem.
Jsou společnou stránkou dvou tváří. Celkově má rovnoběžnostěn dvanáct hran.
Je to společný bod tří ploch, které k sobě sousedí dvě po dvou. Rovnoběžník má osm vrcholů.
Vzhledem k tomu, že dvě tváře rovnoběžnostěnu jsou proti sobě, můžeme nakreslit úsečku, která vede od vrcholu jedné tváře k opačnému vrcholu druhé..
Tento segment je známý jako úhlopříčka rovnoběžnostěnu. Každý rovnoběžnostěn má čtyři úhlopříčky.
Je to bod, ve kterém se protínají všechny úhlopříčky.
Jak jsme již zmínili, toto geometrické těleso má dvanáct hran, šest ploch a osm vrcholů..
V rovnoběžnostěnu lze identifikovat tři sady tvořené čtyřmi hranami, které jsou navzájem rovnoběžné. Okraje těchto sad mají navíc tu vlastnost, že mají stejnou délku.
Další vlastností, kterou mají rovnoběžnostěny, je to, že jsou konvexní, to znamená, že pokud vezmeme jakoukoli dvojici bodů patřících do vnitřku rovnoběžnostěnu, segment určený uvedenou dvojicí bodů bude také uvnitř rovnoběžnostěnu..
Kromě toho jsou rovnoběžnostrany konvexní mnohostěn v souladu s Eulerovou větou pro mnohostěn, která nám dává vztah mezi počtem ploch, počtem hran a počtem vrcholů. Tento vztah je uveden ve formě následující rovnice:
C + V = A + 2
Tato charakteristika je známá jako Eulerova charakteristika..
Kde C je počet ploch, V počet vrcholů a A počet hran.
Můžeme klasifikovat rovnoběžnostěny na základě jejich tváří, do následujících typů:
Jsou to rovnoběžnostopy, kde jejich tváře tvoří šest obdélníků. Každý obdélník je kolmý na ty, které sdílejí hranu. Jsou nejčastější v našem každodenním životě, což je obvyklá forma krabic na boty a cihel..
Toto je konkrétní případ předchozího, kde každá z ploch je čtverec.
Kostka je také součástí geometrických těles zvaných platonická tělesa. Platonické těleso je konvexní mnohostěn, takže jeho tváře i vnitřní úhly jsou si navzájem rovny..
Je to rovnoběžnostěn s kosočtverci pro jeho tvář. Tyto kosočtverce jsou si navzájem rovnocenné, protože sdílejí hrany.
Jeho šest tváří má kosodélník. Připomeňme, že kosodélník je mnohoúhelník se čtyřmi stranami a čtyřmi úhly, které se rovnají dvěma až dvěma. Kosodélníky jsou rovnoběžníky, které nejsou ani čtverci, ani obdélníky ani kosočtverci.
Na druhou stranu Oblique Parallelepipeds jsou ty, u nichž alespoň jedna výška nesouhlasí s jejich hranou. Do této klasifikace můžeme zahrnout rhombohedru a rhombohedru.
Pro výpočet úhlopříčky orthohedronu můžeme použít Pythagorovu větu pro R3.
Připomeňme, že ortohedron má charakteristiku, že každá strana je kolmá na strany, které sdílejí hranu. Z této skutečnosti můžeme odvodit, že každá hrana je kolmá na ty, které sdílejí vrchol.
Při výpočtu délky úhlopříčky orthoedru postupujeme následovně:
1. Vypočítáme úhlopříčku jedné z ploch, kterou dáme jako základ. K tomu používáme Pythagorovu větu. Pojďme pojmenovat tuto úhlopříčku db.
dva. Pak s db můžeme vytvořit nový pravý trojúhelník tak, že přepona uvedeného trojúhelníku je hledaná úhlopříčka D..
3. Znovu používáme Pythagorovu větu a máme délku uvedené úhlopříčky:
Další způsob, jak vypočítat úhlopříčky grafičtějším způsobem, je součet volných vektorů.
Připomeňme, že dva volné vektory A a B jsou přidány umístěním ocasu vektoru B špičkou vektoru A.
Vektor (A + B) je ten, který začíná na konci A a končí na špičce B.
Uvažujme rovnoběžnostěn, pro který chceme vypočítat úhlopříčku.
Hrany identifikujeme pomocí pohodlně orientovaných vektorů.
Pak přidáme tyto vektory a výsledný vektor bude úhlopříčka rovnoběžnostěnu.
Plocha rovnoběžnostěnu je dána součtem každé z oblastí jejích ploch.
Určíme-li jednu ze stran jako základnu,
NAL + 2AB = Celková plocha
KamL se rovná součtu ploch všech stran sousedících se základnou, nazývaných boční plocha a AB je plocha základny.
V závislosti na typu hranolku, se kterým pracujeme, můžeme tento vzorec přepsat.
Je to dáno vzorcem
A = 2 (ab + bc + ca).
Vzhledem k následujícímu orthohedronu, se stranami a = 6 cm, b = 8 cm a c = 10 cm, vypočítáme plochu rovnoběžnostěnu a délku jeho úhlopříčky.
Pomocí vzorce pro oblast ortohedronu to máme
A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cmdva.
Všimněte si, že protože se jedná o orthohedron, délka kterékoli z jeho čtyř úhlopříček je stejná.
Použitím Pythagorovy věty pro prostor to máme
D = (6dva + 8dva + 10dva)1/2 = (36 + 64 + 100)1/2 = (200)1/2
Protože každá hrana má stejnou délku, máme tu a = b a a = c. Nahrazení v předchozím vzorci máme
A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3adva) = 6adva
A = 6adva
Krabice herní konzole má tvar kostky. Pokud chceme tuto krabičku zabalit balicím papírem, kolik papíru bychom utratili s vědomím, že délka okrajů krychle je 45 cm?
Pomocí vzorce pro oblast krychle to získáme
A = 6 (45 cm)dva = 6 (2025 cmdva) = 12150 cmdva
Jelikož jsou všechny jejich tváře stejné, stačí vypočítat plochu jedné z nich a vynásobit ji šesti.
Máme, že plochu kosočtverce lze vypočítat z jeho úhlopříček pomocí následujícího vzorce
NAR = (Dd) / 2
Z tohoto vzorce vyplývá, že celková plocha kosodélníku je
NAT = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.
Tváře následujícího kosodélníku jsou tvořeny kosočtvercem, jehož úhlopříčky jsou D = 7 cm a d = 4 cm. Vaše oblast bude
A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cmdva.
Pro výpočet plochy kosodélníku musíme vypočítat plochu kosodélníků, které ji tvoří. Vzhledem k tomu, že rovnoběžnostěny splňují vlastnost, že protilehlé strany mají stejnou plochu, můžeme strany přiřadit do tří párů.
Tímto způsobem máme, že vaše oblast bude
NAT = 2b1h1 + 2bdvahdva + 2b3h3
Kde bi jsou základny spojené se stranami a hi jeho relativní výška odpovídající uvedeným základnám.
Zvažte následující rovnoběžnostěn,
kde strana A a strana A '(její protilehlá strana) mají základnu b = 10 a výšku h = 6. Vyznačená oblast bude mít hodnotu
NA1 = 2 (10) (6) = 120
B a B 'mají b = 4 a h = 6, takže
NAdva = 2 (4) (6) = 48
A C a C 'tedy mají b = 10 a h = 5
NA3 = 2 (10) (5) = 100
Konečně je oblast kosodélníku
A = 120 + 48 + 100 = 268.
Vzorec, který nám dává objem rovnoběžnostěnu, je součinem plochy jedné z jejích ploch o výšku odpovídající uvedené ploše.
V = AChC
V závislosti na typu rovnoběžnostěnu lze tento vzorec zjednodušit.
Máme tedy například to, že objem orthohedronu by byl dán vztahem
V = abc.
Kde a, b a c představují délku okrajů ortohedronu.
A v konkrétním případě krychle je
V = a3
Existují tři různé modely pro krabičky cookie a chcete vědět, do kterého z těchto modelů můžete uložit více cookies, to znamená, která z krabiček má největší objem.
První je kostka, jejíž hrana má délku a = 10 cm
Jeho objem bude V = 1000 cm3
Druhá má hrany b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm
A proto je jeho objem V = 765 cm3
A třetí má e = 9 cm, f = 9 cm a g = 13 cm
A jeho objem je V = 1053 cm3
Krabice s největším objemem je tedy třetí.
Další metodou k získání objemu rovnoběžnostěnu je použití vektorové algebry. Zejména produkt se třemi tečkami.
Jednou z geometrických interpretací trojitého skalárního součinu je objem rovnoběžnostěnu, jehož hrany jsou tři vektory, které sdílejí stejný vrchol jako výchozí bod.
Tímto způsobem, pokud máme rovnoběžnostěn a chceme vědět, jaký je jeho objem, stačí jej reprezentovat v souřadném systému v R3 takže jeden z jeho vrcholů se shoduje s počátkem.
Pak reprezentujeme hrany, které se shodují v počátku s vektory, jak je znázorněno na obrázku.
A tímto způsobem máme, že objem uvedeného rovnoběžnostěnu je dán vztahem
V = | AxB ∙ C |
Nebo ekvivalentně je objem determinantem matice 3 × 3, tvořené složkami okrajových vektorů.
Při představování následujícího rovnoběžnostěnu v R.3 vidíme, že vektory, které jej určují, jsou následující
u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) a w = (-0,25, -4, 4)
Používáme produkt se třemi tečkami, který máme
V = | (uxv) ∙ w |
uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)
(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60
Z toho usuzujeme, že V = 60
Uvažujme nyní následující rovnoběžnostěn v R3, jehož hrany jsou určeny vektory
A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) a C = (3, 4, 4)
To nám dává použití determinantů
Máme tedy, že objem uvedeného rovnoběžnostěnu je 112.
Oba jsou ekvivalentní způsoby výpočtu objemu.
Orthohedron je známý jako Eulerova cihla (nebo Eulerův blok), která splňuje vlastnost, že jak délka jeho okrajů, tak délka úhlopříček každé z jeho ploch jsou celá čísla..
Ačkoli Euler nebyl prvním vědcem, který studoval ortohedru, která tuto vlastnost splňuje, našel o nich zajímavé výsledky..
Nejmenší Eulerovu cihlu objevil Paul Halcke a délky jejích okrajů jsou a = 44, b = 117 a c = 240.
Otevřený problém v teorii čísel je následující
Existují dokonalá orthoedra?
V současné době nebyla tato otázka zodpovězena, protože nebylo možné prokázat, že takové orgány neexistují, ale nebyly ani nalezeny..
Doposud se ukázalo, že existují dokonalé rovnoběžnostěny. První, který má být objeven, má délku okrajů hodnoty 103, 106 a 271.
Zatím žádné komentáře