The kruhové obměny jsou to různé typy seskupení všech prvků množiny, když musí být uspořádány do kruhů. U tohoto typu permutace záleží na pořadí a prvky se neopakují.
Předpokládejme například, že chcete znát počet odlišných polí číslic od jedné do čtyř, přičemž každé číslo umístíte na jeden z vrcholů kosočtverce. Celkově by to bylo 6 opatření:
Nemělo by být zaměňováno, že číslo jedna je ve všech případech v horní poloze kosočtverce jako pevná poloha. Kruhové permutace se rotací pole nemění. Následuje jedna nebo stejná permutace:
Rejstřík článků
V příkladu různých čtyřmístných kruhových polí umístěných na vrcholech kosočtverce lze počet polí (6) najít takto:
1- Kterákoli ze čtyř číslic je brána jako výchozí bod v kterémkoli z vrcholů a postupuje k dalšímu vrcholu. (nezáleží na tom, zda je otočen ve směru nebo proti směru hodinových ručiček)
2 - Zbývají 3 možnosti pro výběr druhého vrcholu, pak existují 2 možnosti pro výběr třetího vrcholu a pro čtvrtý vrchol samozřejmě zbývá pouze jedna možnost výběru.
3 - Počet kruhových permutací, označených (4 - 1) P (4 - 1), se získá součinem možností výběru v každé poloze:
(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 různých čtyřmístných kruhových polí.
Počet kruhových permutací, kterých lze dosáhnout se všemi n prvky množiny, je obecně:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)
Všimněte si, že (n - 1)! je známý jako n faktoriál a zkracuje produkt všech čísel od čísla (n - 1) po číslo jedna, oba zahrnuty.
Kolik různých způsobů musí sedět 6 lidí u kulatého stolu??
Chcete zjistit počet různých způsobů, jak může 6 lidí sedět kolem kulatého stolu.
Počet způsobů sedění = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!
Počet způsobů sedění = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 různých způsobů
Kolik různých způsobů se musí 5 lidí lokalizovat na vrcholech pětiúhelníku??
Hledá se počet způsobů, jakými lze 5 lidí lokalizovat v každém z vrcholů pětiúhelníku.
Počet způsobů, jak se lokalizovat = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!
Počet způsobů lokalizace = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 různých způsobů
Klenotník získá 12 různých drahých kamenů, aby je umístil do bodů hodin, které připravuje jménem královského domu evropské země.
a) Kolik různých způsobů musí uspořádat kameny na hodinách?
b) Kolik různých tvarů má, pokud je kámen, který jde do 12 hodin, jedinečný?
c) Kolik různých tvarů, pokud je kámen 12 hodin jedinečný a kameny ostatních tří světových stran, 3, 6 a 9 hodin; existují tři konkrétní kameny, které lze vyměnit, a zbývající hodiny jsou přiřazeny zbytku kamenů?
a) Je požadován počet způsobů, jak objednat všechny kameny po obvodu hodin; tj. počet kruhových uspořádání zahrnujících všechny dostupné kameny.
Počet uspořádání hodin = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Počet oprav na hodinách = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet aranžmá na hodinách = 39976800 různých tvarů
b) Zajímá se, kolik různých způsobů objednávání existuje, protože věděl, že kámen rukojeti 12 hodin je jedinečný a pevný; to znamená počet kruhových uspořádání zahrnujících zbývajících 11 kamenů.
Počet uspořádání hodin = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Počet oprav na hodinách = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet aranžmá na hodinách = 3 628 800 různých tvarů
c) Nakonec je hledán počet způsobů, jak objednat všechny kameny, kromě kamene ve 12 hodinách, který je fixní, 3, 6 a 9 kamenů, které mají mezi sebou 3 kameny; tedy 3! možnosti uspořádání a počet kruhových uspořádání zahrnujících zbývajících 8 kamenů.
Počet uspořádání hodin = 3! * [(8-1) P (8-1)] = 3! * (8-1)!
Počet opatření v hodinách = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Počet aranžmá na hodinách = 241920 různých tvarů
Řídící výbor společnosti má 8 členů a scházejí se u oválného stolu.
a) Kolik různých forem uspořádání u stolu má výbor??
b) Předpokládejme, že předseda sedí v čele stolu v jakémkoli uspořádání výboru, kolik různých forem uspořádání má zbytek výboru??
c) Předpokládejme, že místopředseda a tajemník zasedají po stranách prezidenta v jakémkoli uspořádání výboru.?
a) Chceme najít řadu různých způsobů, jak uspořádat 12 členů výboru kolem oválného stolu.
Počet opatření výboru = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Počet opatření ve výborech = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet opatření výboru = 39976800 různých forem
b) Vzhledem k tomu, že předseda výboru je umístěn ve stálé poloze, je hledáno množství způsobů, jak uspořádat zbývajících 11 členů výboru kolem oválného stolu.
Počet opatření výboru = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Počet opatření výboru = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet dohod výboru = 3 628 800 různých forem
c) Prezident je umístěn ve stálé pozici a po stranách jsou viceprezident a sekretářka se dvěma možnostmi uspořádání: viceprezident vpravo a sekretář vlevo nebo viceprezident vlevo a sekretář vpravo. Pak chcete najít počet různých způsobů, jak uspořádat 9 zbývajících členů výboru kolem oválného stolu, a vynásobit je dvěma formami uspořádání, které mají viceprezident a sekretářka..
Počet opatření výboru = 2 * [(9-1) P (9-1)] = 2 * [(9-1)!]
Počet opatření výboru = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Počet opatření výboru = 80640 různých forem
Zatím žádné komentáře