The vztahy proporcionality jsou to vazby mezi dvěma nebo více proměnnými, takže když se mění jedna z veličin, mění se i hodnota ostatních. Pokud se například jeden zvýší, ostatní se mohou zvýšit nebo snížit, ale v jednotném množství..
Starořečtí matematici si uvědomili, že některé proměnné spolu souvisejí velmi přesně. Uvědomili si, že pokud má jeden kruh dvojnásobek průměru druhého, bude mít obvod dvojnásobnou délku.
A pokud se průměr ztrojnásobí, ztrojnásobí se také obrys obvodu. To znamená, že při zvětšení průměru dojde k proporcionálnímu zvětšení obvodu..
Můžeme tedy potvrdit, že délka obvodu L je úměrná jeho průměru D, který je vyjádřen následovně:
L ∝ D
Kde symbol ∝ zní „přímo úměrné“. Chcete-li změnit symbol proporcionality na symbol rovnosti a začlenit číselné hodnoty, je nutné určit vazbu mezi proměnnými, tzv. konstanta proporcionality.
Po provedení mnoha měření starověcí matematici zjistili, že konstanta úměrnosti mezi velikostí L obvodu a průměrem D stejné je číslo 3,1416 ... Elipsy označují nekonečný počet desetinných míst.
Tato hodnota není nic jiného než slavné číslo π (pi) a tímto způsobem píšeme:
L = π.D
Tímto způsobem je poměr délky k průměru jednoho obvodu stejný jako poměr délky k průměru druhého. A nejlepší na tom je, že nyní máme způsob, jak vypočítat délku jakéhokoli obvodu pouhým poznáním jeho průměru.
Rejstřík článků
Ve vědě (a také v každodenním životě) je velmi důležité najít vztahy mezi proměnnými, vědět, jak změny v jedné z nich ovlivňují druhou. Například:
-Pokud potřebujete 3 šálky mouky k přípravě tuctu sušenek. Kolik šálků trvá, než vyděláte 2 a půl tuctu?.
-S vědomím, že předmět na planetě Merkur váží 4krát méně než na Zemi, kolik bude 1,5tunové auto vážit na Merkuru??
-Jak změna použité síly ovlivní zrychlení těla, na které působí??
-Pokud vozidlo jede rovnoměrně přímočarým pohybem po dálnici a víme, že najede 30 km za 10 minut, jaká bude ujetá vzdálenost po 20 minutách?
-Když máme vodič, kterým prochází elektrický proud, jak se mění napětí mezi jeho konci, pokud se zvyšuje?
-Pokud je průměr kruhu zdvojnásoben, jak je ovlivněna jeho plocha??
-Jak vzdálenost ovlivňuje intenzitu elektrického pole produkovaného bodovým nábojem?
Odpověď spočívá v proporcionálních vztazích, ale ne všechny vztahy jsou stejného typu. Pak je najdeme pro všechny zde nastolené situace.
Dvě proměnné xay jsou v přímém poměru, pokud jsou příbuzné:
y = kx
Kde k je konstanta proporcionality. Příkladem je vztah mezi množstvím mouky a sušenky. Pokud tyto proměnné zobrazíme v grafu, získáme přímku podobnou té, která je znázorněna na obrázku:
Pokud y jsou šálky mouky a x jsou tucty cookies, vztah mezi nimi je:
y = 3x
Na x = 1 tucet potřebujeme y = 3 šálky mouky. A pro x = 2,5 tuctu je zapotřebí y = 7,5 šálku mouky.
Ale máme také:
-Akcelerace na že zážitky těla jsou úměrné síle F působící na to, je hmotou těla, tzv m, konstanta proporcionality:
F = mna
Čím větší je použitá síla, tím větší je zrychlení..
-V ohmických vodičích je napětí V mezi jejich konci úměrné proudu, který jsem použil. Konstanta proporcionality je odpor R vodiče:
V = RI
-Když se objekt pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem, vzdálenost d je úměrná času t, je rychlost proti konstanta proporcionality:
d = v.t.
Někdy najdeme dvě veličiny takové, že při zvýšení jedné vznikne a pokles proporcionální v druhé. Tato závislost se nazývá inverzní poměr.
Například v předchozí rovnici je čas t potřebný k ujetí určité vzdálenosti d nepřímo úměrný rychlosti v jízdy:
t = d / v
A tak zatímco vyšší je rychlost v, méně čas, který auto potřebuje na ujetí vzdálenosti d. Pokud se například rychlost zdvojnásobí, čas se sníží na polovinu.
Když jsou dvě proměnné xay v inverzním poměru, můžeme napsat:
y = k / x
Být konstantou proporcionality. Graf této závislosti je:
V jednom z výše zmíněných příkladů jsme uvažovali, co se stane s oblastí kruhu, když se poloměr zvětší. Odpověď je, že oblast je přímo úměrná čtverci poloměru, kde π je konstanta úměrnosti:
A = πRdva
V případě, že se poloměr zdvojnásobí, plocha se zvětší o faktor 4.
A v případě elektrického pole A produkovaný bodovým nábojem co, je známo, že intenzita klesá s inverzí čtverce vzdálenosti r k nákladu co:
E = ka q / rdva
Můžeme ale také konstatovat, že intenzita pole je přímo úměrná velikosti náboje, což je konstanta úměrnosti ka, elektrostatická konstanta.
Další proporcionality, které jsou také prezentovány ve Vědě, jsou exponenciální proporcionalita a logaritmická proporcionalita. V prvním případě jsou proměnné xay vztaženy:
y = k.a.X
Kde a je základ, kladné číslo jiné než 0, což je obvykle 10 nebo číslo e. Například exponenciální růst bakterií má tuto formu.
V druhém případě je vztah mezi proměnnými:
y = k.logna X
Opět a je základ logaritmu, který je často 10 (desítkový logaritmus) nebo e (přirozený logaritmus).
S vědomím, že předmět váží na planetě Merkur čtyřikrát méně než na Zemi, kolik by 1,5-tunové auto vážilo na Merkuru??
Hmotnost na Merkuru = (1/4) Hmotnost na Zemi = (1/4) x 1,5 tuny = 0,375 tuny.
Na večírek se někteří přátelé rozhodnou připravit šťávu z ovocného koncentrátu. Pokyny na obalu uvádějí, že jedna sklenice koncentrátu připraví 15 sklenic šťávy. Kolik koncentrátu je potřeba k přípravě 110 sklenic šťávy?
Nechť y je počet sklenic šťávy a x počet sklenic koncentrátu. Jsou příbuzní:
y = kx
Dosazením hodnot y = 15 a x = 1 se vyřeší konstanta k:
k = y / x = 15/1 = 15
Proto:
110 = 15 x
x = 110/15 = 7,33 sklenic ovocného koncentrátu.
Zatím žádné komentáře