The Greenova věta je výpočetní metoda používaná k přiřazení liniových integrálů k dvojitým plošným nebo povrchovým integrálům. Příslušné funkce musí být označeny jako vektorová pole a definovány v rámci cesty C..
Například integrální výraz čáry může být velmi obtížné vyřešit; implementací Greenovy věty se však dvojité integrály stávají zcela základními. Vždy je důležité respektovat kladný směr trajektorie, jedná se o směr proti směru hodinových ručiček.
Greenova věta je zvláštním případem Stokesovy věty, kde se projekce vektorové funkce provádí v rovině xy.
Rejstřík článků
Výraz Greenovy věty je následující:
První člen ukazuje přímkový integrál definovaný cestou „C“ skalárního součinu mezi vektorovou funkcí „F“ a funkcí vektoru „r“.
C: Je to definovaná cesta, na kterou se bude vektorová funkce promítat, pokud je definována pro danou rovinu.
F: Vektorová funkce, kde každá z jejích komponent je definována funkcí jako je tato (f, g).
r: Je to tečna vektoru k oblasti R, nad kterou je definován integrál. V tomto případě pracujeme s diferenciálem tohoto vektoru.
Ve druhém členu vidíme rozvinutou Greenovu větu, kde je pozorován dvojný integrál definovaný v oblasti R rozdílu parciálních derivací g a f vzhledem k x a y. Plošným diferenciálem, který není ničím jiným než součinem obou dvourozměrných diferenciálů (dx.dy).
Tato věta je dokonale použitelná pro prostorové a povrchové integrály.
Abychom Greenovu větu dokázali jednoduchým způsobem, bude tento úkol rozdělen na 2 části. Nejprve budeme předpokládat, že vektorová funkce F má definici pouze ve versoru i. Zatímco funkce "g" odpovídá versoru j bude rovna nule.
F = f (x, y)i + g (x, y)j = f (x, y)i + 0
r = xi + Yj
dr = dxi + dyj
Nejprve vytvoříme přímku integrální přes trajektorii C, pro kterou byla trajektorie rozdělena na 2 úseky, které nejdříve procházejí z bodu a do bodu b a poté z bodu b do bodu a.
Definice základní věty o počtu je použita pro určitý integrál.
Výraz je přeuspořádán do jednoho integrálu, z negativu je vytvořen společný faktor a pořadí faktorů je obráceno.
Při podrobném sledování tohoto výrazu je zřejmé, že při použití kritérií primitivní funkce jsme v přítomnosti integrálu výrazu odvozeného od f vzhledem k y. Vyhodnoceno v parametrech
Nyní stačí předpokládat, že vektorová funkce F je definována pouze pro g (x, y)j. Pokud při provozu podobným způsobem jako v předchozím případě dojde k následujícímu:
Pro dokončení jsou odebrány 2 důkazy a spojeny v případě, že vektorová funkce přebírá hodnoty pro oba versores. Tímto způsobem se ukazuje, jak může být integrální čára poté, co byla definována a považována za jednorozměrnou trajektorii, plně vyvinuta pro rovinu a prostor.
F = f (x, y)i + g (x, y)j
Tímto způsobem je dokázána Greenova věta.
Aplikace Greenovy věty jsou široké v oborech fyziky a matematiky. Ty se vztahují na jakoukoli aplikaci nebo použití, které lze použít k integraci linky.
Mechanická práce vykonaná silou F cestou C může být vyvinuta integrálem čáry, který je vyjádřen jako dvojitý integrál oblasti pomocí Greenovy věty.
Momenty setrvačnosti mnoha těles vystavených vnějším silám v různých aplikačních bodech také reagují na liniové integrály, které lze vyvinout pomocí Greenovy věty..
To má několik funkcí ve studiích odolnosti používaných materiálů. Kde lze externí hodnoty kvantifikovat a vzít v úvahu před zpracováním různých prvků.
Greenova věta obecně usnadňuje porozumění a definici oblastí, kde jsou definovány vektorové funkce vzhledem k oblasti podle trajektorie.
To bylo vydáno v roce 1828 v práci Matematická analýza teorií elektřiny a magnetismu, napsal britský matematik George Green. V něm jsou prozkoumány zcela rozhodující úseky v aplikaci počtu ve fyzice, jako je koncept potenciálních funkcí, Greenovy funkce a aplikace jeho vlastní věty.
George Green formalizoval svou studentskou kariéru ve věku 40 let a byl až dosud zcela samouk matematik. Po studiu na University of Cambridge pokračoval ve svém výzkumu a přispíval k akustice, optice a hydrodynamice, které jsou platné dodnes..
Greenova věta je zvláštní případ a vychází ze 2 dalších velmi důležitých vět v oblasti počtu. Jedná se o Kelvin-Stokesovu větu a divergenční větu nebo Gauss Ostrogradski.
Počínaje kteroukoli ze dvou vět je možné dospět k Greenově teorémě. K vypracování těchto důkazů jsou nutné určité definice a návrhy..
- Následující cvičení ukazuje, jak transformovat integrál přímky na dvojitý integrál vzhledem k oblasti R..
Původní výraz je následující:
Odkud jsou převzaty funkce odpovídající f a g
f (x, y) = x3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Při aplikaci Greenovy věty neexistuje jediný způsob, jak definovat limity integrace. Existují ale způsoby, jak mohou být integrály po definování jednodušší. Optimalizace integračních limitů si tedy zaslouží pozornost.
Kde při řešení integrálů získáme:
Tato hodnota odpovídá v kubických jednotkách oblasti pod vektorovou funkcí a nad trojúhelníkovou oblastí definovanou C.
V případě integrálu řádku bez provedení Greenovy metody by bylo nutné parametrizovat funkce v každé části regionu. To znamená provést 3 parametrizované integrály pro rozlišení. To je dostatečný důkaz o účinnosti, kterou Robert Green přinesl svou větou do počtu.
Zatím žádné komentáře