Torricelliho věta, z čeho se skládá, vzorce a cvičení

The Torricelliho věta Princip Torricelli uvádí, že rychlost kapaliny, která vychází otvorem ve stěně nádrže nebo kontejneru, je stejná jako rychlost předmětu, který může volně padat z výšky rovné výšce volného povrchu kapaliny až do díry.

Věta je znázorněna na následujícím obrázku:

Kvůli Torricelliho teorému pak můžeme potvrdit, že výstupní rychlost kapaliny otvorem, který je ve výšce h pod volným povrchem kapaliny, je dána následujícím vzorcem:

Kde g je gravitační zrychlení a h je výška od otvoru k volnému povrchu kapaliny.

Evangelista Torricelli byl fyzik a matematik narozený ve městě Faenza v Itálii v roce 1608. Torricelli je připočítán s vynálezem rtuťového barometru a jako uznání existuje tlaková jednotka zvaná „torr“, což odpovídá jednomu milimetru rtuti (mm Hg).

Rejstřík článků

• 1 Důkaz věty
  • 1.1 Padající předmět
  • 1.2 Kapalina vycházející z otvoru
• 2 Vyřešená cvičení
  • 2.1 Cvičení 1
• 3 I) Malé výstupní potrubí vodní nádrže je 3 m pod hladinou vody. Vypočítejte výstupní rychlost vody.
  • 3.1 Cvičení 2
  • 3.2 Cvičení 3
• 4 Odkazy

Důkaz věty

V Torricelliho větě a ve vzorci udávajícím rychlost předpokládá, že ztráty viskozity jsou zanedbatelné, stejně jako u volného pádu se předpokládá, že tření způsobené vzduchem obklopujícím padající objekt je zanedbatelné..

Výše uvedený předpoklad je ve většině případů rozumný a zahrnuje také zachování mechanické energie.

Abychom dokázali teorém, nejprve najdeme vzorec rychlosti pro objekt, který se uvolní s nulovou počáteční rychlostí, ze stejné výšky jako povrch kapaliny v nádrži..

Princip získání energie se použije k získání rychlosti padajícího objektu, právě když sestoupil z výšky h stejné jako od díry po volnou plochu.

Protože nedochází k žádným ztrátám třením, je platný princip zachování mechanické energie. Předpokládejme, že padající předmět má hmotnost ma výška h se měří od úrovně výstupu kapaliny.

Padající předmět

Když je objekt uvolněn z výšky rovné výšce volného povrchu kapaliny, jeho energie je pouze gravitační potenciál, protože jeho rychlost je nulová, a proto je jeho kinetická energie nulová. Potenciální energie Ep je dána vztahem:

Ep = m g h

Když prochází před otvorem, jeho výška je nulová, pak je potenciální energie nulová, takže má pouze kinetickou energii Ec danou:

Ec = ½ m v^dva

Protože energie je zachována Ep = Ec z toho, co se získá:

½ m v^dva = m g h

Řešení pro rychlost proti poté se získá Torricelliho vzorec:

Kapalina vycházející z díry

Dále najdeme výstupní rychlost kapaliny skrz otvor, abychom ukázali, že se shoduje s rychlostí, která byla právě vypočítána pro volně padající objekt.

Za tímto účelem se budeme opírat o Bernoulliho princip, který není ničím jiným než ochranou energie aplikované na tekutiny.

Bernoulliho princip je formulován takto:

Interpretace tohoto vzorce je následující:

• První člen představuje kinetickou energii tekutiny na jednotku objemu
• Druhý představuje práci vykonanou tlakem na jednotku plochy průřezu.
• Třetí představuje gravitační potenciální energii na jednotku objemu tekutiny..

Jak vycházíme z předpokladu, že se jedná o ideální tekutinu, v neturbulentních podmínkách s relativně nízkou rychlostí, pak je třeba potvrdit, že mechanická energie na jednotku objemu v tekutině je konstantní ve všech oblastech nebo průřezech stejný..

V tomto vzorci PROTI je rychlost kapaliny, ρ hustota kapaliny, P tlak a z svislá poloha.

Obrázek níže ukazuje Torricelliho vzorec vycházející z Bernoulliho principu.

Aplikujeme Bernoulliho vzorec na volný povrch kapaliny označený (1) a na výstupní otvor označený (2). Nulová výška hlavy byla zvolena v jedné rovině s výstupním otvorem.

Za předpokladu, že průřez v (1) je mnohem větší než v (2), můžeme předpokládat, že rychlost sestupu kapaliny v (1) je prakticky zanedbatelná.

To je důvod, proč V₁= 0, tlak, kterému je kapalina vystavena (1), je atmosférický tlak a výška měřená od otvoru je h.

Pro výstupní část (2) předpokládáme, že výstupní rychlost je v, tlak, kterému je kapalina vystavena na výstupu, je také atmosférický tlak a výška výstupu je nulová.

Hodnoty odpovídající částem (1) a (2) jsou v Bernoulliho vzorci nahrazeny a nastaveny na stejnou hodnotu. Rovnost platí, protože předpokládáme, že kapalina je ideální a že nedochází k žádným ztrátám třením. Po zjednodušení všech termínů se získá rychlost na výstupním otvoru.

Pole výše ukazuje, že získaný výsledek je stejný jako výsledek volně padajícího předmětu,

Vyřešená cvičení

Cvičení 1

Já) Malá výstupní trubka nádrže na vodu je 3 m pod hladinou vody. Vypočítejte výstupní rychlost vody.

Řešení:

Následující obrázek ukazuje, jak se Torricelliho vzorec použije v tomto případě.

Cvičení 2

II) Za předpokladu, že výstupní potrubí nádrže z předchozího cvičení má průměr 1 cm, spočítejte průtok vody.

Řešení:

Průtok je objem kapaliny vystupující za jednotku času a je vypočítán jednoduše vynásobením plochy výstupního otvoru výstupní rychlostí.

Následující obrázek ukazuje podrobnosti výpočtu.

Cvičení 3

III) Určete, jak vysoko je volný povrch vody v nádobě, pokud víte

že v otvoru ve spodní části nádoby vytéká voda rychlostí 10 m / s.

Řešení:

I když je otvor ve spodní části nádoby, lze stále používat Torricelliho vzorec.

Následující obrázek ukazuje podrobnosti výpočtů.

Reference

1. Wikipedia. Torricelliho věta.
2. Hewitt, P. Konceptuální fyzikální věda. Páté vydání.119.
3. Mladý, Hughu. 2016. Univerzita fyziky Sears-Zemanského s moderní fyzikou. 14. vyd. Pearson. 384.