A trapéz scalene je mnohoúhelník se čtyřmi stranami, z nichž dvě jsou navzájem rovnoběžné a se čtyřmi vnitřními úhly různých měr.
Čtyřúhelník ABCD je zobrazen níže, kde strany AB a DC jsou navzájem rovnoběžné. To je dost na to, aby se z něj stal lichoběžník, ale navíc jsou vnitřní úhly α, β, γ a δ různé, proto je lichoběžník scalen.
Rejstřík článků
Zde jsou nejcharakterističtější prvky:
-Základny a boky: rovnoběžné strany lichoběžníku jsou jeho základny a dvě nerovnoběžné strany jsou boční.
Ve scalenovém lichoběžníku jsou základny různé délky a také boční. Scalenový lichoběžník však může mít boční délku rovnou délce k základně..
-Medián: je segment, který spojuje středy bočnic.
-Úhlopříčky: úhlopříčka lichoběžníku je segment, který spojuje dva protilehlé vrcholy. Lichoběžník, stejně jako každý čtyřúhelník, má dvě úhlopříčky. Ve scalenovém lichoběžníku mají různou délku.
Kromě lichoběžníkového scalenu existují další zvláštní lichoběžníky: pravý lichoběžník a rovnoramenný lichoběžník..
Lichoběžník je obdélník, když jeden z jeho úhlů má pravdu, zatímco rovnoramenný lichoběžník má strany stejné délky.
Lichoběžníkový tvar má řadu aplikací na konstrukční a průmyslové úrovni, například v konfiguraci křídel letadel, ve tvaru předmětů každodenní potřeby, jako jsou stoly, opěradla židlí, obaly, peněženky, potisky textilu a další..
Níže jsou uvedeny vlastnosti lichoběžníkového scalenu, z nichž mnohé sahají až k dalším typům lichoběžníku. V následujícím textu, když mluvíme o „lichoběžníku“, bude vlastnost použitelná pro jakýkoli typ, včetně scalenu..
1. Medián lichoběžníku, tj. Segmentu, který spojuje středy jeho nerovnoběžných stran, je rovnoběžný s jakoukoli základnou.
2. - Medián lichoběžníku má délku, která je polovičním součtem jeho základen a prořízne jeho úhlopříčky ve středu.
3.- Úhlopříčky lichoběžníku se protínají v bodě, který je rozděluje na dvě části, které jsou úměrné kvocientům bází.
4.- Součet čtverců úhlopříček lichoběžníku se rovná součtu čtverců jeho stran plus dvojnásobný součin jeho základen..
5. - Segment, který spojuje střední body úhlopříček, má délku rovnou semifinále základen.
6.- Úhly sousedící s bočními úhly jsou doplňkové.
7. - U lichoběžníku scalene je délka jeho úhlopříček odlišná.
8. - Lichoběžník má zapsaný obvod pouze v případě, že součet jeho základen se rovná součtu jeho stran.
9. - Pokud má lichoběžník vepsaný obvod, pak úhel s vrcholem ve středu uvedeného obvodu a po stranách, které procházejí konci strany lichoběžníku, je rovný.
10. - Scalenový lichoběžník nemá ohraničený obvod, jediný typ lichoběžníku, který ho má, jsou rovnoramenné.
Následující vztahy scalenového lichoběžníku jsou uvedeny na následujícím obrázku.
1. - Pokud AE = ED a BF = FC → EF || AB a EF || DC.
2. - EF = (AB + DC) / 2, tj .: m = (a + c) / 2.
3. - DI = IB = d1 / 2 a AG = GC = ddva /dva.
4. - DJ / JB = (c / a) podobně CJ / JA = (c / a).
5. - DBdva + ACdva = ADdva + před naším letopočtemdva + 2 AB ∙ DC
Ekvivalentně:
d1dva + ddvadva = ddva + bdva + 2 a ∙ c
6. - GI = (AB - DC) / 2
A to:
n = (a - c) / 2
7. - α + δ = 180⁰ a β + γ = 180⁰
8. - Pokud α ≠ β ≠ γ ≠ δ pak d1 ≠ d2.
9. - Obrázek 4 ukazuje scalenový lichoběžník, který má vepsaný obvod, v tomto případě platí, že:
a + c = d + b
10. - Ve scalenovém lichoběžníku ABCD s vepsaným obvodem středu O platí také toto:
∡AOD = ∡BOC = 90⁰
Výška lichoběžníku je definována jako segment, který vede z bodu základny kolmo k opačné základně (nebo k jejímu prodloužení).
Všechny výšky lichoběžníku mají stejné měření h, takže většinu času slovo výška odkazuje na jeho měření. Při syntéze je výška vzdálenost nebo vzdálenost mezi bázemi.
Výška h může být určena znalostem délky jedné strany a jednoho z úhlů sousedících se stranou:
h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)
Míra mediánu lichoběžníku je poločetem bází:
m = (a + b) / 2
d1 = √ [adva + ddva - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α)]
ddva= √ [adva + bdva - 2 ∙ a ∙ b ∙ Cos (β)]
Lze jej také vypočítat, pokud je známa pouze délka stran lichoběžníku:
d1 = √ [bdva + a ∙ c - a (nardva - ddva) / (a - c)]
ddva = √ [ddva + a ∙ c - a (ddva - bdva) / (a - c)]
Obvod je celková délka obrysu, tj. Součet všech jeho stran:
P = a + b + c + d
Plocha lichoběžníku je poločetem jeho základen vynásobeným jeho výškou:
A = h ∙ (a + b) / 2
Lze jej také vypočítat, pokud jsou známy střední hodnoty ma výška h:
A = m ∙ h
V případě, že je známa pouze délka stran lichoběžníku, lze plochu určit pomocí Heronova vzorce pro lichoběžník:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Kde s je semiperimetr: s = (a + b + c + d) / 2.
Průsečík mediánu s úhlopříčkami a rovnoběžka, která prochází průsečíkem úhlopříček, vede k dalším vztahům.
EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2
Pokud KL || AB || DC s J ∈ KL, pak KJ = JL = (a ∙ c) / (a + c)
Vzhledem k základnám délek na Y C, kde a> c a se stranami délek b a d, bytost b> d, postupujte podle těchto kroků (viz obrázek 6):
1. - S pravidlem je nakreslen segment hlavní AB.
2. - Od A se a na AB je bod P označen tak, že AP = c.
3. - S kompasem se středem v P a poloměrem d je nakreslen oblouk.
4. - Vycentrujte na B s poloměrem b a nakreslete oblouk, který zachytí oblouk nakreslený v předchozím kroku. Říkáme Q průsečík.
5. - Se středem v A nakreslete oblouk o poloměru d.
6. - Se středem v Q nakreslete oblouk o poloměru c, který zachytí oblouk nakreslený v předchozím kroku. Mezní bod se bude jmenovat R.
7. - Segmenty BQ, QR a RA jsou sledovány pomocí pravítka.
8. - Čtyřúhelník ABQR je scalenový lichoběžník, protože APQR je rovnoběžník, který zaručuje, že AB || Qr.
Následující délky jsou uvedeny v cm: 7, 3, 4 a 6.
a) Určete, zda s nimi je možné zkonstruovat scalenový lichoběžník, který může ohraničovat kruh.
b) Najděte obvod, plochu, délku úhlopříček a výšku lichoběžníku, stejně jako poloměr vepsané kružnice.
Pomocí segmentů délky 7 a 3 jako základen a segmentů délky 4 a 6 jako bočnic lze sestrojit scalenový lichoběžník pomocí postupu popsaného v předchozí části.
Zbývá zkontrolovat, zda má vepsaný obvod, ale pamatuji si vlastnost (9):
Lichoběžník má zapsaný obvod pouze v případě, že součet jeho základen se rovná součtu jeho stran.
Vidíme to efektivně:
7 + 3 = 4 + 6 = 10
Poté je splněna podmínka existence zapsaného obvodu.
Obvod P se získá přidáním stran. Vzhledem k tomu, že základny přidávají až 10 a bočnice také, obvod je:
P = 20 cm
Pro určení oblasti známé pouze její strany se použije vztah:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Kde s je semiperimetr:
s = (a + b + c + d) / 2.
V našem případě má semiperimetr hodnotu s = 10 cm. Po nahrazení příslušných hodnot:
a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm
Zůstává:
A = [10/4] √ [(3) (7) (- 1) (- 3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².
Výška h souvisí s oblastí A následujícím výrazem:
A = (a + c) ∙ h / 2, ze kterého lze zjistit výšku vymazáním:
h = 2A / (a + c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.
Poloměr vepsané kružnice se rovná polovině výšky:
r = h / 2 = 1984 cm
Nakonec se zjistí délka úhlopříček:
d1 = √ [bdva + a ∙ c - a (nardva - ddva) / (a - c)]
ddva = √ [ddva + a ∙ c - a (ddva - bdva) / (a - c)]
Při správném nahrazení hodnot máme:
d1 = √ [6dva + 7 ∙ 3 - 7 (6dva - 4dva) / (7 - 3)] = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)
ddva = √ [4dva + 7 ∙ 3 - 7 (4dva - 6dva) / (7 - 3)] = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)
To je: d1 = 4,69 cm a ddva = 8,49 cm
Určete vnitřní úhly lichoběžníku se základnami AB = a = 7, CD = c = 3 a bočními úhly BC = b = 6, DA = d = 4.
Kosinovou větu lze použít k určení úhlů. Například úhel ∠A = α je určen z trojúhelníku ABD s AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 a DA = d = 4.
Kosinová věta aplikovaná na tento trojúhelník vypadá takto:
ddvadva = adva + ddva - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), to znamená:
72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).
Řešení pro, kosinus úhlu α se získá:
Cos (α) = -1/8
To znamená, že α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.
Stejným způsobem se získají ostatní úhly, jejichž hodnoty jsou:
p = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ a nakonec δ = 82,82⁰.
Zatím žádné komentáře