The jednotkové vektory jsou ty, jejichž modul, velikost nebo velikost se rovná číselné hodnotě jedna. Jednotkové vektory jsou užitečné k označení směru jiných neunitních vektorů.
Připomeňme, že vektory jsou matematické entity, které matematicky představují fyzikální veličiny, které závisí na směru, jako je síla, rychlost, zrychlení a další..
Bez ohledu na fyzickou velikost, ke které jsou přidruženy, jsou jednotkové vektory bez měrných jednotek a jejich velikost je vždy 1, čisté číslo.
Například rychlost částice pohybující se 3 m / s a směřující v kladném směru kartézské osy X je označena: proti = (3 m / s) i, kde tučným písmem se označují vektorové veličiny. V tomto příkladu modul proti je 3 m / s a modul jednotkového vektoru i je 1 (žádné jednotky).
Rejstřík článků
Vzhledem k tomu, jak důležité je určit orientaci těchto veličin, aby bylo možné znát jejich účinky, mají vektory tři relevantní charakteristiky: velikost nebo modul, spojené s velikostí vektoru, směrem a smyslem. Při představování vektorové veličiny je nutné tyto aspekty jasně označit.
Nyní může mít jednotkový vektor libovolný směr a smysl, který je upřednostňován, ale velikost se musí vždy rovnat 1.
Jednotkové vektory se používají k nasměrování na určitý směr v prostoru nebo v rovině. Pokud například potřebujeme pracovat se všemi silami, které působí podél vodorovné osy, protože jednotkový vektor v tomto směru nám pomáhá odlišit tyto síly od ostatních namířených jiným směrem..
A abychom je odlišili od neunitních vektorů, obvykle se v tištěném dopise používá tučný typ a nahoře se umístí stříška, například:
Matematicky jednotkový vektor:
Můžeme tedy zjistit, že:
-Modul jednotkového vektoru je vždy 1, nezáleží na tom, zda se jedná o sílu, rychlost nebo jiný vektor.
-Jednotkové vektory mají určitý směr i smysl, například jednotkový vektor ve svislém směru, který může mít směr nahoru nebo dolů.
-Jednotkové vektory mají počáteční bod. Když je reprezentován kartézským souřadným systémem, tento bod se shoduje s počátkem systému: (0,0), pokud je to rovina, nebo (0,0,0), pokud je vektor v trojrozměrném prostoru.
-Podobně s jednotkovými vektory lze provádět všechny operace sčítání, odčítání a násobení vektorů pomocí pravidelných vektorů. Proto je platné vynásobit jednotkový vektor skalárem a provést bodový součin a křížový součin.
-S jednotkovým vektorem v určitém směru lze vyjádřit další vektory, které jsou také orientovány v tomto směru..
K vyjádření libovolného vektoru v prostoru nebo v rovině lze použít sadu jednotkových vektorů kolmých na sebe, které tvoří ortonormální základ. Každý ze tří preferenčních směrů vesmíru má svůj vlastní jednotkový vektor.
Vraťme se k příkladu sil směrovaných podél vodorovné osy. Toto je osa x, která má dvě možnosti: doprava a doleva. Předpokládejme, že máme na ose x jednotkový vektor a směřujeme doprava, což můžeme označit některým z těchto způsobů:
Kterýkoli z nich je platný. Nyní předpokládejme sílu F1 o velikosti 5 N podél této osy a směřující doprava, lze takovou sílu vyjádřit jako:
Pokud by síla byla směrována podél osy x, ale v opačném směru, tj. Doleva, pak by bylo možné použít k určení tohoto rozdílu záporné znaménko..
Například síla o velikosti 8 N, umístěná na ose x a směřující doleva, bude vypadat takto:
Nebo takto:
A pro vektory, které nejsou směrovány podél kartézských os, existuje také způsob, jak je reprezentovat ve smyslu ortogonálních jednotkových vektorů jejich kartézskými složkami.
Pro výpočet jednotkového vektoru ve směru libovolného vektoru proti, platí následující vzorec:
Kde:
Je to modul nebo velikost vektoru proti, jehož čtverec se počítá takto:
|proti|dva = (vX)dva + (protiY)dva+ (protiz)dva
Alternativně vektor proti lze vyjádřit takto:
To znamená, že produkt jeho modulu odpovídajícím jednotkovým vektorem. Přesně to se stalo dříve, když jsme mluvili o síle velikosti 5 N směrované podél kladné osy x.
Graficky je výše uvedené vidět na tomto obrázku, kde je vektor proti je modře a odpovídající jednotkový vektor v jeho směru červeně.
V tomto příkladu vektor proti má velikost větší než jednotkový vektor, ale vysvětlení je platné, i když ne. Jinými slovy, můžeme mít vektory, které jsou například 0,25násobkem jednotkového vektoru.
Jak jsme již viděli, kolmé jednotkové vektory i, j Y k jsou velmi užitečné pro reprezentaci jakéhokoli jiného vektoru v rovině nebo prostoru a pro provádění vektorových operací. Z hlediska těchto vektorů je libovolný vektor v reprezentován jako:
proti = vX i + protiY j + protiz k
Kde VX, protiY a Vz jsou obdélníkové složky vektoru proti, což jsou skaláry - pro jejich tištěný text se nepoužívá tučný typ-.
Jednotkové vektory se ve fyzice objevují často. Máme zde například Coulombův zákon, který kvantitativně popisuje interakci mezi dvěma bodovými elektrickými náboji.
Uvádí, že síla F přitažlivost nebo odpor mezi uvedenými náboji je úměrná jejich součinu, nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti, která je odděluje, a je směrována ve směru jednotkového vektoru, který spojuje náboje.
Tento vektor je obvykle reprezentován:
A Coulombův zákon vypadá takto, ve vektorové podobě:
Nalezení jednotkového vektoru ve směru vektoru proti = 5i + 4j -8k, uvedené v libovolných jednotkách.
Platí výše uvedená definice jednotkového vektoru:
Nejprve však musíme vypočítat modul vektoru, který, protože má tři složky, je určen:
|proti|dva = (vX)dva + (protiY)dva + (protiz)dva
Zbývající:
|proti|dva = (5)dva + (4)dva + (-8)dva= 25 + 16 + 64 = 105
Proto modul proti to je:
|proti| = √105
Hledaný jednotkový vektor je jednoduše:
Což nás nakonec vede k:
proti = 0,488 i + 0,390 j - 0,781 k
Zatím žádné komentáře