The úhlová rychlost je míra rychlosti otáčení a je definována jako úhel, kterým se vektor polohy rotujícího objektu otáčí za jednotku času. Jedná se o velikost, která velmi dobře popisuje pohyb mnoha objektů, které se neustále otáčejí všude: CD, kola automobilů, stroje, Země a mnoho dalších..
Schéma „londýnského oka“ je vidět na následujícím obrázku. Představuje pohyb cestujícího představovaný bodem P, který sleduje kruhovou cestu, tzv C:
Cestující zaujímá polohu P v okamžiku t a úhlová poloha odpovídající tomuto okamžiku je ϕ.
Od okamžiku t uplyne časové období Δt. V tomto období je nová poloha přesného cestujícího P 'a úhlová poloha se zvýšila o úhel Δϕ.
Rejstřík článků
Pro rotační veličiny se často používají řecká písmena, aby se odlišily od lineárních veličin. Nejprve tedy definujeme střední úhlovou rychlost ωm jako úhel uražený v daném časovém období.
Potom bude podíl Δϕ / Δt představovat střední úhlovou rychlost ωm mezi časy t a t + Δt.
Pokud chcete vypočítat úhlová rychlost právě v okamžiku t, pak budeme muset vypočítat kvocient Δϕ / Δt, když Δt ➡0:
Lineární rychlost proti, je podíl mezi ujetou vzdáleností a časem potřebným k jejímu ujetí.
Na obrázku výše je uražený oblouk Δs. Tento oblouk je však úměrný uraženému úhlu a poloměru, přičemž je splněn následující vztah, který je platný, pokud se Δϕ měří v radiánech:
Δs = r ・ Δϕ
Pokud vydělíme předchozí výraz časovou prodlevou Δt a vezmeme limit, když Δt ➡0, získáme:
v = r ・ ω
Rotační pohyb je rovnoměrný, pokud v kterémkoli sledovaném okamžiku je uhelný úhel stejný ve stejném časovém období.
Pokud je rotace rovnoměrná, pak se úhlová rychlost v kterémkoli okamžiku shoduje se střední úhlovou rychlostí.
Kromě toho, když je provedeno úplné otočení, je úhel, který urazí, 2π (ekvivalent 360 °). Proto při rovnoměrné rotaci úhlová rychlost ω souvisí s obdobím T, podle následujícího vzorce:
f = 1 / T.
Jinými slovy, při rovnoměrné rotaci úhlová rychlost souvisí s frekvencí:
ω = 2π ・ f
Kabiny velkého kolovratu známého jako „Londýnské oko"Pohybují se pomalu." Rychlost kabin je 26 cm / s a kolo má průměr 135 m.
S těmito daty vypočítat:
i) Úhlová rychlost kola
ii) Frekvence otáčení
iii) Čas potřebný k úplnému otočení kabiny.
Odpovědi:
i) Rychlost v v m / s je: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.
Poloměr je polovina průměru: r = (135 m) / 2 = 67,5 m
v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10-4 otáčky / s
f = 6,13 x 10 ^ -4 otáčky / s = 0,0368 otáčky / min = 2,21 otáčky / hodinu.
iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 kolo / hod = 0,45311 hod = 27 min 11 s
Autíčko se pohybuje po kruhové dráze o poloměru 2 m. Za 0 s je jeho úhlová poloha 0 rad, ale po čase t je jeho úhlová poloha dána vztahem:
φ (t) = 2 ・ t
Určit:
i) Úhlová rychlost
ii) Lineární rychlost v každém okamžiku.
Odpovědi:
i) Úhlová rychlost je derivací úhlové polohy: ω = φ '(t) = 2.
To znamená, že autíčko má po celou dobu konstantní úhlovou rychlost rovnou 2 rad / s.
ii) Lineární rychlost vozu je: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 Km / h
Stejné auto z předchozího cvičení začíná zastavovat. Jeho úhlová poloha jako funkce času je dána následujícím výrazem:
φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ tdva
Určit:
i) Úhlová rychlost v každém okamžiku
ii) Lineární rychlost v každém okamžiku
iii) Čas potřebný k zastavení od okamžiku, kdy se začne zpomalovat
iv) Ujetý úhel
v) ujetá vzdálenost
Odpovědi:
i) Úhlová rychlost je derivací úhlové polohy: ω = φ '(t)
ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ tdva) '= 2 - t
ii) Lineární rychlost vozu v kterémkoli okamžiku je dána vztahem:
v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t
iii) Čas potřebný k zastavení od okamžiku, kdy začne zpomalovat, je určen poznáním okamžiku, ve kterém se rychlost v (t) stane nulovou.
v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2
To znamená, že se zastaví 2 s po zahájení brzdění.
iv) V období 2 s od okamžiku, kdy začne brzdit, dokud se nezastaví, se projede úhel daný φ (2):
φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4-2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 stupňů
proti) V období 2 s od okamžiku, kdy začne brzdit, až do zastavení, je vzdálenost s dána vztahem:
s = r ・ φ = 2 m ・ 2 rad = 4 m
Kola automobilu mají průměr 80 cm. Pokud auto jede rychlostí 100 km / h. Najít: i) úhlovou rychlost otáčení kol, ii) frekvenci otáčení kol, iii) počet otáček, které kolo provede za 1 hodinu jízdy.
Odpovědi:
i) Nejprve převedeme rychlost vozu z Km / h na m / s
v = 100 km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s
Úhlová rychlost otáčení kol je dána vztahem:
ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s
ii) Frekvence otáčení kol je dána vztahem:
f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 otáčky / s
Frekvence otáčení je obvykle vyjádřena v otáčkách za minutu ot./min.
f = 11,05 otáčky / s = 11,05 otáčky / (1/60) min = 663,15 ot / min
iii) Počet kol, která kolo udělá za 1 hodinu jízdy, se vypočítá s vědomím, že 1 hodina = 60 minut a že frekvence je počet kol N dělený časem, ve kterém jsou tyto N kola provedeny.
f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (otáčky / min) x 60 min = 39788,7 otáček.
Zatím žádné komentáře