The binomická distribuce je rozdělení pravděpodobnosti, pomocí kterého se počítá pravděpodobnost výskytu událostí za předpokladu, že k nim dochází ve dvou modalitách: úspěch nebo neúspěch.
Tato označení (úspěch nebo neúspěch) jsou zcela libovolná, protože nemusí nutně znamenat dobré nebo špatné věci. V tomto článku si ukážeme matematickou formu binomického rozdělení a poté podrobně vysvětlíme význam každého pojmu.
Rejstřík článků
Rovnice je následující:
S x = 0, 1, 2, 3… .n, kde:
- P (x) je pravděpodobnost, že budete mít přesně X úspěchy mezi n pokusy nebo pokusy.
- X je proměnná, která popisuje fenomén zájmu, odpovídající počtu úspěchů.
- n počet pokusů
- p je pravděpodobnost úspěchu v 1 pokusu
- co je tedy pravděpodobnost selhání při 1 pokusu q = 1 - str
Vykřičník „!“ se používá pro faktoriální notaci, takže:
0! = 1
1! = 1
dva! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
A tak dále.
Binomické rozdělení je velmi vhodné k popisu situací, ve kterých k události dojde nebo nedojde. Pokud k tomu dojde, je to úspěch, a pokud ne, pak je to neúspěch. Pravděpodobnost úspěchu musí navíc vždy zůstat konstantní..
Existují jevy, které těmto podmínkám vyhovují, například hod mincí. V tomto případě můžeme říci, že „úspěchu“ se dostává do tváře. Pravděpodobnost je ½ a nemění se, bez ohledu na to, kolikrát je mince hodena..
Dalším dobrým příkladem je hod čestné kostky, stejně jako kategorizace určité produkce na dobré a vadné kousky a získání červené místo černé při otáčení ruletového kola..
Můžeme shrnout vlastnosti binomického rozdělení takto:
- Jakákoli událost nebo pozorování je čerpáno z nekonečné populace bez náhrady nebo z konečné populace s náhradou.
- Uvažovány jsou pouze dvě vzájemně se vylučující možnosti: úspěch nebo neúspěch, jak je vysvětleno na začátku.
- Pravděpodobnost úspěchu musí být při každém pozorování konstantní.
- Výsledek jakékoli události je nezávislý na jakékoli jiné události.
- Průměr binomického rozdělení je n.p.
- Směrodatná odchylka je:
Vezměme si jednoduchou událost, kterou může být získání 2 hlav 5 tím, že 3krát hodíte poctivou kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že ve 3 losech budou získány 2 hlavy z 5?
Existuje několik způsobů, jak toho dosáhnout, například:
- První dvě role jsou 5 a poslední ne.
- První a poslední jsou 5, ale ne prostřední.
- Poslední dva hody jsou 5 a první ne.
Vezměme si první posloupnost popsanou jako příklad a vypočítejme její pravděpodobnost výskytu. Pravděpodobnost získání 5 hlav na prvním hodu je 1/6 a také na druhém hodu, protože se jedná o nezávislé události.
Pravděpodobnost získání další hlavy jiné než 5 na posledním hodu je 1 - 1/6 = 5/6. Pravděpodobnost, že tato posloupnost vyjde, je tedy výsledkem pravděpodobností:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
A co další dvě sekvence? Mají stejnou pravděpodobnost: 0,023.
A protože máme celkem 3 úspěšné sekvence, celková pravděpodobnost bude:
P (2 hlavy 5 ze 3 losování) = počet možných sekvencí x pravděpodobnost konkrétní sekvence = 3 x 0,023 = 0,069.
Nyní zkusme binomikum, ve kterém se to děje:
x = 2 (získání 2 hlav z 5 ve 3 losování je úspěch)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6
Existuje několik způsobů řešení cvičení binomické distribuce. Jak jsme viděli, nejjednodušší lze vyřešit spočítáním počtu úspěšných sekvencí a následným vynásobením příslušnými pravděpodobnostmi.
Pokud však existuje mnoho možností, čísla se zvětší a je lepší použít vzorec.
A pokud jsou čísla ještě vyšší, existují tabulky binomického rozdělení. Nyní jsou však zastaralé ve prospěch mnoha druhů kalkulaček, které usnadňují výpočet..
Pár má děti s pravděpodobností 0,25, že bude mít krev typu O. Pár má celkem 5 dětí. Odpověď: a) Hodí se tato situace na binomické rozdělení? B) Jaká je pravděpodobnost, že přesně 2 z nich jsou typu O?
a) Binomické rozdělení je upraveno, protože splňuje podmínky stanovené v předchozích částech. Existují dvě možnosti: mít krev typu O je „úspěch“, zatímco nemít ji je „selhání“, a všechna pozorování jsou nezávislá..
b) Máme binomické rozdělení:
x = 2 (získejte 2 děti s krví typu O)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
Jedna univerzita tvrdí, že 80% studentů vysokoškolského basketbalového týmu absolvuje. Vyšetřování zkoumá akademický záznam 20 studentů patřících k uvedenému basketbalovému týmu, kteří se před časem zapsali na univerzitu.
Z těchto 20 studentů 11 ukončilo studium a 9 z nich vypadlo.
Pokud je tvrzení univerzity pravdivé, počet studentů, kteří hrají basketbal a postgraduální studium, z 20 by měl mít binomické rozdělení s n = 20 Y p = 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že přesně 11 z 20 hráčů absolvuje??
V binomické distribuci:
x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2
Výzkumníci provedli studii, aby zjistili, zda existují významné rozdíly v míře promoce mezi studenty medicíny přijatými prostřednictvím speciálních programů a studenty medicíny přijatými podle pravidel pravidel pro přijetí..
Bylo zjištěno, že míra promoce je 94% u studentů medicíny přijatých prostřednictvím speciálních programů (na základě údajů z Journal of the American Medical Association).
Pokud je náhodně vybráno 10 studentů ze speciálních programů, zjistěte pravděpodobnost, že alespoň 9 z nich promovalo.
b) Bylo by neobvyklé náhodně vybrat 10 studentů ze speciálních programů a zjistit, že pouze 7 z nich promovalo??
Pravděpodobnost, že student přijatý prostřednictvím zvláštního programu absolvuje, je 94/100 = 0,94. Jsou vybráni n = 10 studenti ze speciálních programů a chcete zjistit pravděpodobnost, že alespoň 9 z nich absolvuje.
V binomické distribuci jsou poté nahrazeny následující hodnoty:
x = 9
n = 10
p = 0,94
b)
Zatím žádné komentáře