The elipsoid je povrch v prostoru, který patří do skupiny kvadrických povrchů a jehož obecná rovnice má tvar:
Sekeradva + Podledva + Čsdva + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Jedná se o trojrozměrný ekvivalent elipsy, který se vyznačuje tím, že v některých zvláštních případech má eliptické a kruhové stopy. Stopy jsou křivky získané protínáním elipsoidu s rovinou.
Kromě elipsoidu existuje ještě pět kvadriků: jednolistový a dvoulistový hyperboloid, dva typy paraboloidů (hyperbolický a eliptický) a eliptický kužel. Jeho stopy jsou také kuželovité.
Elipsoid lze také vyjádřit standardní rovnicí v kartézských souřadnicích. Elipsoid vycentrovaný na počátek (0,0,0) a vyjádřený tímto způsobem se podobá elipsě, ale s dalším výrazem:
Hodnoty na, b Y C jsou reálná čísla větší než 0 a představují tři poloosy elipsoidu.
Rejstřík článků
Standardní rovnice v kartézských souřadnicích pro elipsu vystředěnou v bodě (h, k, m) to je:
Ve sférických souřadnicích lze elipsoid popsat takto:
x = hřích θ. cos φ
y = b sin θ. sen φ
z = c cos θ
Poloosy elipsoidu zůstávají a, bac, zatímco parametry jsou úhly θ a φ následujícího obrázku:
Obecná rovnice povrchu v prostoru je F (x, y, z) = 0 a stopy povrchu jsou křivky:
- x = c; F (c, y, z) = 0
- y = c; F (x, c, z) = 0
- z = c; F (x, y, c) = 0
V případě elipsoidu jsou takové křivky elipsy a někdy kružnice.
Objem V elipsoidu je dán (4/3) π krát součinem jeho tří poloos:
V = (4/3) π. abc
-Elipsoid se stane koulí, když mají všechny poloosy stejnou velikost: a = b = c ≠ 0. To dává smysl, protože elipsoid je jako koule, která byla podél každé osy protažena odlišně..
-Sféroid je elipsoid, ve kterém jsou dvě poloosy identické a třetí je odlišná, například by to mohlo být a = b ≠ c.
Sféroid se také nazývá rotační elipsoid, protože jej lze generovat rotací elips kolem osy.
Pokud se osa otáčení shoduje s hlavní osou, sféroid je prolovat, ale pokud se shoduje s vedlejší osou, je zploštělý:
Míra zploštění sféroidu (eliptičnost) je dána rozdílem v délce mezi dvěma poloosami, vyjádřeným ve zlomkové formě, tj. Jedná se o zploštění jednotky dané:
f = (a - b) / a
V této rovnici a představuje poloviční hlavní osu a b poloviční vedlejší osu, nezapomeňte, že třetí osa se rovná jedné z nich pro sféroid. Hodnota f je mezi 0 a 1 a pro sféroid musí být větší než 0 (pokud by se rovnalo 0, jednoduše bychom měli kouli).
Planety a hvězdy obecně nejsou obvykle dokonalé koule, protože rotační pohyb kolem jejich os zplošťuje tělo na pólech a vydutí na rovníku..
Proto se Země jeví jako zploštělý sféroid, i když ne tak přehnaný jako ten na předchozím obrázku, a plynový gigant Saturn je ze své strany nejplošší z planet sluneční soustavy.
Realističtějším způsobem, jak reprezentovat planety, je předpokládat, že jsou jako rotační sféroid nebo elipsoid, jehož polohlavní osa je rovníkový poloměr a poloviční vedlejší osa polární poloměr..
Pečlivá měření provedená na celém světě umožnila vybudovat referenční elipsoid Země jako nejpřesnější způsob, jak to matematicky zpracovat.
Hvězdy mají také rotační pohyby, které jim dávají víceméně zploštělé tvary. Rychlá hvězda Achernar, osmá nejjasnější hvězda na noční obloze, v jižním souhvězdí Eridanus je ve srovnání s většinou pozoruhodně eliptická. Je to 144 světelných let od nás.
Na druhém konci našli vědci před několika lety nej sférickější objekt, jaký kdy našli: hvězdu Kepler 11145123 vzdálenou 5 000 světelných let, dvojnásobnou velikost našeho Slunce a rozdíl mezi poloosami pouhé 3 km. Podle očekávání se točí také pomaleji.
Pokud jde o Zemi, není to ani dokonalý sféroid kvůli drsnému povrchu a lokálním rozdílům v gravitaci. Proto je k dispozici více než jeden referenční sféroid a na každém místě je vybrán nejvhodnější pro místní geografii..
Pomoc satelitů je neocenitelná při vytváření stále přesnějších modelů tvaru Země, díky nim je například známo, že jižní pól je blíže k rovníku než severní pól..
Díky rotaci Země je generována odstředivá síla, která jí dává tvar podlouhlého elipsoidu místo koule. Rovníkový poloměr Země je známý jako 3963 mil a polární poloměr je 3942 mil..
Najděte rovnici rovníkové stopy, rovnici tohoto elipsoidu a míru jeho zploštění. Porovnejte také s elipticitou Saturnu s níže uvedenými údaji:
-Rovníkový poloměr Saturnu: 60268 km
-Polární poloměr Saturn: 54 364 km
Je vyžadován souřadný systém, který předpokládáme vycentrovaný na počátek (střed Země). Budeme předpokládat svislou osu z a stopa, která odpovídá rovníku, leží na rovině xy, což odpovídá rovině z = 0.
V rovníkové rovině jsou poloosy a a b stejné, proto a = b = 3963 mil, zatímco c = 3942 mil. Jedná se o speciální případ: sféroid se středem v bodě (0,0,0), jak je uvedeno výše.
Rovníková stopa je kruh o poloměru R = 3963 mil, vycentrovaný na počátek. Vypočítá se to tak, že z = 0 ve standardní rovnici:
A standardní rovnice pozemského elipsoidu je:
F Přistát = (a - b) / a = (3963-3942) míle / 3963 míle = 0,0053
F Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980
Všimněte si, že elipticita f je bezrozměrná veličina.
Zatím žádné komentáře