The inverzní trigonometrické funkce, Jak název napovídá, jedná se o odpovídající inverzní funkce funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans a kosekans..
Inverzní trigonometrické funkce jsou označeny stejným názvem jako jejich odpovídající přímá trigonometrická funkce plus předpona oblouk. Tím pádem:
1.- arcsen (x) je inverzní trigonometrická funkce funkce sen (x)
dva.- arccos (x) je inverzní trigonometrická funkce funkce cos (x)
3.- arktan (x) je inverzní trigonometrická funkce funkce takže (x)
4.- arccot (x) je inverzní trigonometrická funkce funkce dětská postýlka (x)
5.- arcsec (x) je inverzní trigonometrická funkce funkce sec (x)
6.- arccsc (x) je inverzní trigonometrická funkce funkce csc (x)
Funkce θ = arcsen (x) vede k jednotkovému oblouku θ (nebo úhel v radiánech θ) takové, že sin (θ) = x.
Například arcsen (√3 / 2) = π / 3, protože, jak je známo, sinus π / 3 radiánů se rovná √3 / 2.
Rejstřík článků
Aby matematická funkce f (x) měla inverzní g (x) = f-1(x) je nutné, aby tato funkce byla injekční, což znamená, že každá hodnota y sady příchodů funkce f (x) pochází z jedné a pouze jedné hodnoty x.
Je zřejmé, že tento požadavek nesplňuje žádná trigonometrická funkce. Chcete-li objasnit bod, všimněte si, že hodnotu y = 0,5 lze získat ze sinusové funkce následujícími způsoby:
A mnoho dalších, protože sinusová funkce je periodická s periodou 2π.
Aby bylo možné definovat inverzní trigonometrické funkce, je nutné omezit doménu jejich odpovídajících přímých trigonometrických funkcí, aby splňovaly požadavek injektivity.
Tou omezenou doménou přímé funkce bude rozsah nebo hlavní větev odpovídající inverzní funkce.
K získání derivátů inverzních trigonometrických funkcí se použijí vlastnosti derivátů, zejména derivace inverzní funkce.
Pokud označíme f (y) funkci a f-1(x) k jeho inverzní funkci, potom derivace inverzní funkce souvisí s derivací přímé funkce následujícím vztahem:
[F-1(x)] '= 1 / f' [f-1(X)]
Například: pokud x = f (y) = √y je přímá funkce, bude její inverzní funkce
y = f-1(x) = xdva. Použijme pravidlo derivace inverze na tento jednoduchý případ, abychom zjistili, zda je toto pravidlo skutečně splněno:
[Xdva] '= 1 / [√y]' = 1 / (½ r-½ = 2 a½ = 2 (xdva)½ = 2x
Tento trik můžeme použít k nalezení derivátů inverzních trigonometrických funkcí.
Například vezmeme θ = arcsen (x) jako přímá funkce bude její inverzní funkce sin (θ) = x.
[arcsen (x)] '= 1 / [sin (θ)]' = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 - sin (θ)dva) = ...
… = 1 / √ (1 - xdva) .
Tímto způsobem lze získat všechny deriváty inverzních trigonometrických funkcí, které jsou uvedeny níže:
Tyto deriváty jsou platné pro jakýkoli argument z náležející ke komplexním číslům, a proto jsou také platný pro jakýkoli skutečný argument x, protože z = x + 0i.
Najít arctan (1).
Arktan (1) je jednotkový oblouk (úhel v radiánech) ፀ takový, že tan (ፀ) = 1. Ten úhel je ፀ = π / 4, protože tan (π / 4) = 1. Takže arctan (1) = π / 4.
Výpočet arcsenu (cos (π / 3)).
Úhel π / 3 radiány je pozoruhodný úhel, jehož kosinus je ½, takže problém se scvrkává na nalezení arcsenu (½).
Pak jde o zjištění, který úhel, jehož sinus dává ½. Tento úhel je π / 6, protože sin (π / 6) = sin (30º) = ½. Proto arcsen (cos (π / 3)) = π / 6.
Najděte výsledek následujícího výrazu:
sec (arctan (3)) + csc (arccot (4))
Začneme pojmenováním α = arctan (3) a β = arccot (4). Pak výraz, který musíme vypočítat, vypadá takto:
sec (α) + csc (β)
Výraz α = arctan (3) je ekvivalentní výrazu tan (α) = 3.
Protože tečna je protilehlá noha přes sousední, vytvoříme pravý trojúhelník s nohou naproti α 3 jednotek a sousední nohou 1 jednotky, takže tan (α) = 3/1 = 3.
V pravoúhlém trojúhelníku je přepona určena Pythagorovou větou. Výsledkem těchto hodnot je √10, takže:
sec (α) = přepona / sousední noha = √10 / 1 = √10.
Podobně β = arccot (4) je ekvivalentní potvrzení, že cot (β) = 4.
Zkonstruujeme trojúhelník pravé nohy sousedící s β o 4 jednotkách a opačnou nohu z 1 jednotky, takže cot (β) = 4/1.
Trojúhelník je okamžitě dokončen nalezením jeho přepony díky Pythagorově větě. V tomto případě se ukázalo, že má √ 17 jednotek. Poté se vypočítá csc (β) = přepona / protilehlá noha = √17 / 1 = √17.
Pamatujte, že výraz, který musíme vypočítat, je:
sec (arctan (3)) + csc (arccot (4)) = sec (α) + csc (β) =…
… = √10 + √17 = 3,16 + 4,12 = 7,28.
Najděte řešení:
Cos (2x) = 1 - Sen (x)
Je nutné, aby všechny trigonometrické funkce byly vyjádřeny ve stejném argumentu nebo úhlu. Použijeme identitu dvojitého úhlu:
Cos (2x) = 1 - 2 sendva(X)
Pak se původní výraz sníží na:
1 - 2 Sendva(x) = 1 - Sen x
Jakmile je zjednodušeno a zohledněno, je vyjádřeno jako:
sin (x) (2 sin (x) - 1) = 0
Z čehož vyplývají dvě možné rovnice: Sen (x) = 0 s řešením x = 0 a další rovnice sin (x) = ½ s x = π / 6 jako řešení.
Řešení rovnice jsou: x = 0 nebo x = π / 6.
Najděte řešení následující trigonometrické rovnice:
cos (x) = hříchdva(X)
K vyřešení této rovnice je vhodné umístit pouze jeden typ trigonometrické funkce, takže použijeme základní trigonometrickou identitu, aby byla původní rovnice přepsána následovně:
cos (x) = 1 - cosdva(X)
Pokud pojmenujeme y = cos (x), lze výraz přepsat jako:
Ydva + a - 1 = 0
Jedná se o rovnici druhého stupně v y, jejíž řešení jsou:
y = (-1 ± √5) / 2
Pak hodnoty x, které splňují původní rovnici, jsou:
x = arccos ((-1 ± √5) / 2)
Skutečným řešením je řešení s kladným znaménkem x = 0,9046 rad = 51,83 °.
Druhé řešení je komplexní: x = (π - 1,06 i) rad.
Zatím žádné komentáře