Oni jsou Pythagorovy identity všechny trigonometrické rovnice, které platí pro jakoukoli hodnotu úhlu a jsou založeny na Pythagorově větě. Nejznámější z pythagorovských identit je základní trigonometrická identita:
Sendva(α) + Cosdva(α) = 1
Dále v důležitosti a používám Pythagorovu identitu tangenty a sekans:
Takdva(α) + 1 = Secdva(α)
A Pythagorova trigonometrická identita zahrnující kotangens a kosekans:
1 + Ctgdva(α) = Cscdva(α)
Rejstřík článků
Trigonometrické poměry prsa Y kosinus jsou reprezentovány v kruhu o poloměru jedna (1) známém jako trigonometrická kružnice. Uvedená kružnice má střed v počátku souřadnic O.
Úhly se měří od kladné poloosy X, například úhel α na obrázku 2 (viz níže). Proti směru hodinových ručiček, pokud je úhel kladný, a proti směru hodinových ručiček, pokud je to záporný úhel.
Nakreslí se paprsek s počátkem O a úhlem α, který protíná jednotkovou kružnici v bodě P. Bod P se promítne kolmo na vodorovnou osu X, z níž vznikne bod C. Podobně P se promítne kolmo na svislou osu Y, čímž se získá bod S.
V C máme pravý trojúhelník OCP.
Je třeba si uvědomit, že trigonometrický poměr prsa je definován na pravém trojúhelníku takto:
Sinus úhlu trojúhelníku je poměr nebo podíl mezi nohou naproti úhlu a přeponou trojúhelníku.
Aplikováno na trojúhelník OCP na obrázku 2 by vypadalo takto:
Sen (α) = CP / OP
ale CP = OS a OP = 1, takže:
Sen (α) = OS
To znamená, že projekční OS na ose Y má hodnotu rovnající se sinu zobrazeného úhlu. Je třeba poznamenat, že maximální hodnota sinusu úhlu (+1) nastává, když α = 90 ° a minimální (-1), když α = -90 ° nebo α = 270 °.
Podobně je kosinus úhlu kvocient mezi nohou sousedící s úhlem a přeponou trojúhelníku..
Aplikováno na trojúhelník OCP na obrázku 2 by vypadalo takto:
Cos (α) = OC / OP
ale OP = 1, takže:
Cos (α) = OC
To znamená, že projekce OC na ose X má hodnotu rovnou sinu zobrazeného úhlu. Je třeba poznamenat, že maximální hodnota kosinu (+1) nastává, když α = 0 ° nebo α = 360 °, zatímco minimální hodnota kosinu je (-1), když α = 180 °.
Pro pravý trojúhelník OCP v C se použije Pythagorova věta, která uvádí, že součet čtverce nohou se rovná čtverci přepony:
CPdva + OCdva = OPdva
Ale již bylo řečeno, že CP = OS = Sen (α), že OC = Cos (α) a že OP = 1, takže předchozí výraz lze přepsat jako funkci sinu a kosinu úhlu:
Sendva(α) + Cosdva(α) = 1
Stejně jako osa X v trigonometrické kružnici je osa kosinu a osa Y sinová osa, stejným způsobem existuje tečná osa (viz obrázek 3), která je přesně tečnou přímkou k jednotkové kružnici v bodě B souřadnice (1, 0).
Pokud chcete znát hodnotu tečny úhlu, nakreslíte úhel z kladné poloosy X, průsečík úhlu s osou tečny definuje bod Q, délku segmentu OQ je tečna úhlu.
Je to proto, že podle definice je tečna úhlu α protilehlou nohou QB mezi sousední nohou OB. To znamená, že Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.
Pythagorovu identitu tangenty lze prokázat zvážením pravoúhlého OBQ v B (obrázek 3). Použitím Pythagorovy věty na tento trojúhelník máme tu BQdva + OBdva = OQdva. Ale již bylo řečeno, že BQ = Tan (α), že OB = 1 a že OQ = Sec (α), takže náhrada v Pythagorově rovnosti za pravý trojúhelník OBQ máme:
Takdva(α) + 1 = Secdva(α).
Zkontrolujte, zda jsou nebo nejsou splněny Pythagorovy identity v pravém trojúhelníku s nohami AB = 4 a BC = 3.
Řešení: Nohy jsou známé, je třeba určit přeponu, což je:
AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.
Úhel ∡BAC se bude nazývat α, ∡BAC = α. Nyní jsou určeny trigonometrické poměry:
Sen α = BC / AC = 3/5
Cos α = AB / AC = 4/5
Takže α = BC / AB = 3/4
Cotan α = AB / BC = 4/3
Sec α = AC / AB = 5/4
Csc α = AC / BC = 5/3
Začíná to základní trigonometrickou identitou:
Sendva(α) + Cosdva(α) = 1
(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1
Byl vyvozen závěr, že je splněn.
- Další Pythagorova identita je identita tangenty:
Takdva(α) + 1 = Secdva(α)
(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2
A dochází k závěru, že je ověřena totožnost tangenty.
- Podobným způsobem jako kotangens:
1 + Ctgdva(α) = Cscdva(α)
1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2
Došlo se k závěru, že je také splněno, čímž byla dokončena úloha ověřování Pythagorovy identity pro daný trojúhelník.
Prokázat následující identity na základě definic trigonometrických poměrů a Pythagorovy identity.
Dokažte to Cosdva x = (1 + Sen x) (1 - Sen x).
Řešení: Na pravé straně je rozpoznán pozoruhodný produkt násobení dvojčlenu jeho konjugátem, což, jak je známo, je rozdíl čtverců:
Cosdva x = 1dva - Sendva X
Potom výraz se sinusem na pravé straně přechází na levou stranu se změnou znaménka:
Cosdva x + Sendva x = 1
Všimněte si, že bylo dosaženo základní trigonometrické identity, takže se dospělo k závěru, že daný výraz je identita, to znamená, že platí pro jakoukoli hodnotu x.
Počínaje základní trigonometrickou identitou a použitím definic trigonometrických poměrů předveďte Pythagorovu identitu kosekans.
Řešení: Základní identita je:
Sendva(x) + Cosdva(x) = 1
Oba členové jsou rozděleni mezi Sendva(x) a jmenovatel je distribuován v prvním členu:
Sendva(x) / Sendva(x) + Cosdva(x) / Sendva(x) = 1 / Sendva(X)
Je to zjednodušené:
1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2
Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) je (nepythagorovská) identita, která je ověřena definicí trigonometrických poměrů. Totéž se děje s následující identitou: 1 / Sen (x) = Csc (x).
Nakonec musíte:
1 + Ctgdva(x) = Cscdva(X)
Zatím žádné komentáře