The neurčitý integrál je inverzní operace derivace a pro její označení se používá symbol podlouhlého „s“: ∫. Matematicky je zapsán neurčitý integrál funkce F (x):
∫F (x) dx = f (x) + C
Kde celé číslo F (x) = f '(x) je funkcí proměnné X, což je zase derivace jiné funkce f (x), která se nazývá integrál nebo primitivní funkce.
Na druhé straně je C konstanta známá jako konstanta integrace, který vždy doprovází výsledek každého neurčitého integrálu. Jeho původ uvidíme okamžitě na příkladu.
Předpokládejme, že jsme požádáni, abychom našli následující neurčitý integrál I:
I = ∫x.dx
Okamžitě je f '(x) identifikováno jako x. To znamená, že musíme poskytnout funkci f (x) tak, aby její derivace byla x, což není obtížné:
f (x) = ½ xdva
Víme, že diferenciací f (x) získáme f '(x), zkontrolujeme to:
[½ xdva] '= 2. (½ x) = x
Nyní funkce: f (x) = ½ xdva + 2 také splňuje požadavek, protože derivace je lineární a derivace konstanty je 0. Další funkce, které při odvození dají f (x) =, jsou:
½ xdva -1, ½ xdva + patnáct; ½ xdva - √2…
A obecně všechny funkce formuláře:
f (x) = ½ xdva + C
Jsou to správné odpovědi na problém.
Volá se některá z těchto funkcí primitivní nebo primitivem f '(x) = x a právě k této množině všech primitivů funkce je známé jako neurčitý integrál.
Stačí znát jen jednoho z primitiv, protože jak je vidět, jediný rozdíl mezi nimi je konstantní C integrace.
Pokud problém obsahuje počáteční podmínky, je možné vypočítat hodnotu C, aby se jim vešly (viz níže řešený příklad).
Rejstřík článků
V předchozím příkladu byl vypočítán ∫x.dx, protože byla známá funkce f (x), která při odvození vyústila v integrand.
Z tohoto důvodu lze z nejznámějších funkcí a jejich derivací rychle vyřešit základní integrály.
Kromě toho existují některé důležité vlastnosti, které rozšiřují rozsah možností při řešení integrálu. Být k skutečné číslo, pak platí, že:
1. - ∫kdx = k ∫dx = kx + C
2. - ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
3. - ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
4. - ∫xn dx = [xn + 1/ n + 1] + C (n ≠ -1)
5. - ∫x -1 dx = ln x + C
V závislosti na integrandu existují různé algebraické i numerické metody řešení integrálů. Zde zmiňujeme:
-Variabilní změna
-Algebraické a trigonometrické substituce.
-Integrace po částech
-Rozklad v jednoduchých zlomcích pro integrand racionálního typu
-Pomocí tabulek
-Numerické metody.
Existují integrály, které lze vyřešit více než jednou metodou. Bohužel neexistuje jediné kritérium k určení a priori nejúčinnější metody řešení daného integrálu.
Některé metody vám umožňují dosáhnout řešení určitých integrálů rychleji než jiné. Pravdou však je, že k získání integrálů řešení dovedností musíte s každou metodou cvičit.
Vytřídit:
Udělejme jednoduchou změnu proměnné pro subradikální veličinu:
u = x-3
S:
x = u + 3
Odvození obou stran v jednom ze dvou výrazů dává:
dx = du
Nyní dosadíme integrál, který budeme označovat jako I:
I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u1/2 du
Aplikujeme distribuční vlastnost a násobení pravomocí stejné základny a získáváme:
I = ∫ (u3/2 + 3 u1/2) du
Podle vlastnosti 3 z předchozí části:
I = ∫ u3/2 du + ∫ 3u1/2 du
Nyní je použita vlastnost 4, která je známá jako pravidlo moci:
∫ u3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C.1 =
= [u5/2 / (5/2)] + C.1 = (2/5) u5/2 + C1
U 3u1/2 du = 3 ∫u1/2 du = 3 [u3/2 / (3/2)] + C.dva =
= 3 (2/3) u3/2 + Cdva = 2u3/2 + Cdva
Výsledky jsou pak spojeny do I:
I = (2/5) u5/2 + 2u3/2 + C
Tyto dvě konstanty lze bez problémů spojit do jedné. Nakonec nezapomeňte vrátit změnu proměnné, která byla provedena dříve, a vyjádřit výsledek z hlediska původní proměnné x:
I = (2/5) (x-3)5/2 + 2 (x-3)3/2 + C
Je možné výsledek faktorovat:
I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C.
Neurčitý integrál platí pro řadu modelů v přírodních a společenských vědách, například:
Při řešení pohybových problémů spočítat rychlost mobilního telefonu, znát jeho zrychlení a při výpočtu polohy mobilního telefonu, znát jeho rychlost.
Například při výpočtu výrobních nákladů položek a modelování funkce poptávky.
Minimální rychlost potřebná k tomu, aby objekt unikl gravitačnímu tahu Země, je dána vztahem:
V tomto výrazu:
-v je rychlost objektu, který chce uniknout ze Země
-y je vzdálenost měřená od středu planety
-M je pevnina
-G je gravitační konstanta
Je žádáno, aby našel vztah mezi proti Y Y, řešení neurčitých integrálů, pokud je objektu dána počáteční rychlost vnebo a poloměr Země je známý a nazývá se R.
K řešení pomocí integračních pravidel se zobrazí dva neurčité integrály:
Já1 = ∫v dv = vdva/ 2 + C.1
Jádva = -GM ∫ (1 / rdva) dy = -GM ∫ r-dva dy = -GM [y-2 + 1/ (- 2 + 1)] + C.dva = GM. Y-1 + Cdva
Rovníme se s I1 a jádva:
protidva/ 2 + C.1 = GM. Y-1 + Cdva
Tyto dvě konstanty lze kombinovat do jedné:
Jakmile jsou integrály vyřešeny, použijeme počáteční podmínky, které jsou následující: když je objekt na povrchu Země, je ve vzdálenosti R od jejího středu. Ve výroku nám říkají, že y je vzdálenost měřená od středu Země.
A právě to, že jste na povrchu, je to, že dostane počáteční rychlost vo, s níž unikne z gravitačního působení planety. Proto můžeme stanovit, že v (R) = vnebo. V takovém případě nám nic nebrání v nahrazení této podmínky výsledkem, který jsme právě získali:
A protože vnebo je známo, stejně jako G, M a R, můžeme vyřešit pro hodnotu integrační konstanty C:
Které můžeme nahradit výsledkem integrálů:
A nakonec jsme vyčistili vdva, vhodným způsobem factoring a seskupení:
Toto je výraz, který souvisí s rychlostí proti satelitu, který byl vystřelen z povrchu planety (o poloměru R) počáteční rychlostí vo, když je na dálku Y od středu planety.
Zatím žádné komentáře