The přibližné měření amorfních obrazců se skládá z řady metod používaných k určení plochy nebo obvodu geometrických obrazců, které nejsou trojúhelníky, čtverci, kruhy atd. Některé lze rozšířit na trojrozměrné postavy.
Měření v zásadě spočívá ve vytvoření mřížky pravidelného tvaru, jako jsou obdélníky, čtverce nebo lichoběžníky, které přibližně pokrývají povrch. Přesnost aproximace oblasti získané těmito metodami se zvyšuje s jemností nebo hustotou mřížky..
Obrázky 1 a 2 ukazují různé amorfní obrázky. Pro výpočet plochy byla vytvořena mřížka složená ze 2 x 2 čtverců, které jsou dále rozděleny na dvacet pět 2/5 x 2/5 čtverců.
Přidáním ploch hlavních čtverců a sekundárních čtverců získáte přibližnou plochu amorfní postavy.
Rejstřík článků
Často je nutné zhruba vypočítat plochu pod křivkou mezi dvěma mezními hodnotami. V tomto případě lze namísto čtvercové mřížky nakreslit obdélníkové pruhy, které zhruba pokrývají oblast pod uvedenou křivkou..
Vyvolá se součet všech obdélníkových pruhů součet nebo Riemannova součet. Obrázek 3 ukazuje rozdělení intervalu [a, b], nad kterým chceme aproximovat plochu pod křivkou.
Předpokládejme, že chcete vypočítat plochu pod křivkou danou funkcí y = f (x), kde x patří do intervalu [a, b], ve kterém chcete plochu vypočítat. Za tímto účelem se v tomto intervalu vytvoří oddíl n prvků:
Oddíl = x0 = a, x1, x2,…, xn = b.
Potom se získá přibližná plocha pod křivkou danou y = f (x) v intervalu [a, b] provedením následujícího součtu:
S = ∑k = 1n f (tk) (Xk - Xk-1)
Kde Tk je mezi xk-1 a xk: Xk-1 ≤ tk ≤ xk .
Obrázek 3 graficky ukazuje Riemannov součet křivky y = f (x) v intervalu [x0, x4]. V tomto případě byl vytvořen oddíl čtyř podintervalů a součet představuje celkovou plochu šedých obdélníků.
Tento součet představuje aproximaci oblasti pod křivkou f mezi úsečkou x = x0 a x = x4.
S přibývajícím číslem se zlepšuje aproximace oblasti pod křivkou n oddílů je větší a má tendenci být přesně oblastí pod křivkou, když je číslo n oddílů má sklon k nekonečnu.
V případě, že křivku představuje analytická funkce, hodnoty f (tk) se počítají vyhodnocením této funkce při hodnotách tk. Pokud však křivka nemá analytický výraz, zůstávají následující možnosti:
V závislosti na volbě hodnoty tk v intervalu [xk, Xk-1], součet může nadhodnocovat nebo podceňovat přesnou hodnotu oblasti pod křivkou funkce y = f (x). Nejvhodnější je vzít bod tk, kde chybějící oblast je přibližně stejná jako nadměrná plocha, i když není vždy možné provést takovou volbu..
Nejpraktičtější věcí pak je použít pravidelné intervaly šířky Δx = (b - a) / n, kde a a b jsou minimální a maximální hodnoty úsečky, zatímco n je počet dělení.
V takovém případě je plocha pod křivkou aproximována:
Plocha = f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b) * Δx
Ve výše uvedeném výrazu byla tk převzata na pravém konci podintervalu.
Další praktickou možností je vzít hodnotu tk úplně vlevo, v takovém případě je součet, který se přibližuje ploše, vyjádřen jako:
Plocha = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
V případě, že je tk zvolena jako centrální hodnota pravidelného subintervalu šířky Δx, je součet, který se přibližuje ploše pod křivkou:
Plocha = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Kterýkoli z těchto výrazů má sklon k přesné hodnotě do té míry, že počet dělení je libovolně velký, to znamená, že Δx má tendenci k nule, ale v tomto případě se počet členů v součtu stává nesmírně velkým s následnými výpočetními náklady.
Obrázek 2 ukazuje amorfní postavu, jejíž obrys je podobný kamenům na obrázku 1. Pro výpočet její plochy je umístěna na mřížku s hlavními čtverci 2 x 2 čtvercových jednotek (například mohou mít velikost 2 cm²)..
A protože každý čtverec je rozdělen na 5 x 5 pododdělení, pak má každý pododdíl plochu 0,4 x 0,4 na druhou (0,16 cm²).
Plocha obrázku by byla vypočítána takto:
Plocha = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²
A to:
Plocha = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².
Vypočítejte přibližně plochu pod křivkou danou funkcí f (x) = xdva mezi a = -2 až b = +2. Chcete-li to provést, nejprve napište součet pro n pravidelných oddílů intervalu [a, b] a poté vezměte matematický limit pro případ, že počet oddílů má sklon k nekonečnu.
Nejprve definujete interval oddílů jako
Δx = (b - a) / n.
Pak pravý součet odpovídající funkci f (x) vypadá takto:
[-2 + (4i / n)]dva = 4 - 16 i / n + (4 / n)dva idva
A pak je v součtu nahrazeno:
A třetí výsledky:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ndva
Výběr velké hodnoty pro n poskytuje dobrou aproximaci oblasti pod křivkou. V tomto případě je však možné získat přesnou hodnotu pomocí matematického limitu, když n má sklon k nekonečnu:
Plocha = limn-> ∞[16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ndva]
Plocha = 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5,333.
Zatím žádné komentáře