The Eulerovo číslo nebo e číslo je známá matematická konstanta, která se často objevuje v mnoha vědeckých a ekonomických aplikacích, spolu s číslem π a dalšími důležitými čísly v matematice.
Vědecká kalkulačka vrací následující hodnotu čísla e:
e = 2,718281828 ...
Je však známo mnohem více desetinných míst, například:
e = 2,71828182845904523536…
A moderní počítače našly biliony desetinných míst pro číslo e.
Je to číslo iracionální, což znamená, že má nekonečný počet desetinných míst bez jakéhokoli opakujícího se vzoru (sekvence 1828 se objeví na začátku dvakrát a již se neopakuje).
A také to znamená, že číslo e nelze získat jako podíl dvou celých čísel.
Rejstřík článků
Číslo a Zjistil to vědec Jacques Bernoulli v roce 1683, když studoval problém složeného úroku, ale dříve se to objevilo nepřímo v dílech skotského matematika Johna Napiera, který vynalezl logaritmy kolem roku 1618.
Byl to však Leonhard Euler v roce 1727, který mu dal jméno e číslo a intenzivně studoval jeho vlastnosti. Proto je také známý jako Eulerovo číslo a také jako přirozený základ pro aktuálně používané přirozené logaritmy (exponent).
Číslo e má hodnotu:
e = 2,71828182845904523536 ...
Elipsa znamená, že existuje nekonečný počet desetinných míst a ve skutečnosti jsou u dnešních počítačů známy miliony z nich.
Existuje několik způsobů, jak definovat e, které popisujeme níže:
Vědec Bernoulli našel ve svých pracích o složeném úroku jeden z různých způsobů vyjádření čísla e:
Ve kterém musíte udělat hodnotu n velmi velké číslo.
Je snadné zkontrolovat pomocí kalkulačky, že kdy n je velmi velký, předchozí výraz má sklon k hodnotě a uvedené výše.
Jistě se můžeme divit, jak velký to může být n, zkusme zaokrouhlit čísla, například tato:
n = 1000; 10 000 nebo 100 000
V prvním případě získáme e = 2,7169239…. Ve druhém e = 2,7181459… a ve třetím je mnohem blíže hodnotě a: 2,7182682. Již nyní můžeme zjistit, že s n = 1 000 000 nebo větším bude aproximace ještě lepší.
V matematickém jazyce postup výroby n se blíží a blíží velmi velké hodnotě, říká se jí omezit na nekonečno a je označen takto:
Pro označení nekonečna se používá symbol „∞“.
Pomocí této operace je také možné definovat číslo e:
Čísla, která se objevují ve jmenovateli: 1, 2, 6, 24, 120… odpovídají operaci n!, kde:
n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ...
A podle definice 0! = 1.
Je snadné ověřit, že čím více přidaných doplňků, tím přesněji je počet dosažen a.
Pojďme udělat několik testů s kalkulačkou a přidávat další a další doplňky:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806
Čím více pojmů je do součtu přidáno, tím více výsledek vypadá a.
Matematici přišli s kompaktním zápisem pro tyto součty zahrnující mnoho výrazů pomocí symbolu součtu Σ:
Tento výraz se čte takto: „součet od n = 0 do nekonečna 1 mezi n faktoriálem“.
Číslo e má grafické znázornění vztahující se k oblasti pod grafem křivky:
y = 1 / x
Když jsou hodnoty x mezi 1 a e, tato oblast se rovná 1, jak je znázorněno na následujícím obrázku:
Některé z vlastností čísla e jsou:
-Je iracionální, jinými slovy, nelze jej získat jednoduše dělením dvou celých čísel.
-Číslo a je to také a transcendentní číslo, co to znamená a není řešením žádné polynomiální rovnice.
-Souvisí to se čtyřmi dalšími slavnými čísly v oblasti matematiky, jmenovitě: π, i, 1 a 0, prostřednictvím Eulerovy identity:
aπi + 1 = 0
-Hovory komplexní čísla lze vyjádřit pomocí e.
-Tvoří základ dnešních přirozených nebo přirozených logaritmů (původní definice Johna Napiera se trochu liší).
-Je to jediné takové číslo, že jeho přirozený logaritmus je roven 1, to znamená:
ln e = 1
Číslo e se velmi často objevuje v oblasti pravděpodobnosti a statistik a objevuje se v různých distribucích, jako je normální nebo Gaussian, Poissonovo a další..
Ve strojírenství je to běžné, protože exponenciální funkce y = eX je přítomen například v mechanice a elektromagnetismu. Z mnoha aplikací můžeme zmínit:
-Kabel nebo řetěz, který visí za konce, přijímá tvar křivky daný:
y = (napřX + a-X) / dva
-Původně vybitý kondenzátor C, který je zapojen do série s rezistorem R a zdrojem napětí V k nabíjení, získává určitý náboj Q jako funkci času t danou:
Q (t) = CV (1-e-t / RC)
Exponenciální funkce y = A.eBx, s konstantou A a B se používá k modelování buněčného růstu a růstu bakterií.
V jaderné fyzice jsou radioaktivní rozpad a určování věku modelovány radiokarbonovým datováním.
Při výpočtu složeného úroku přirozeně vzniká číslo e.
Předpokládejme, že máte určitou částku peněz Pnebo, investovat jej s úrokovou sazbou i% ročně.
Pokud necháte peníze po dobu 1 roku, po této době budete mít:
P (1 rok) = Pnebo + Pnebo.i = Pnebo (1+ i)
Po dalším roce, aniž byste se ho dotkli, budete mít:
P (2 roky) = Pnebo + Pnebo.i + (strnebo + Pnebo .i) i = Pnebo +2 strnebo.i + Pnebo.idva = Po (1 + i)dva
A pokračovat tímto způsobem n roky:
P = Pnebo (1 + i)n
Nyní si zapamatujme jednu z definic e:
Vypadá to trochu jako výraz pro P, takže musí existovat vztah.
Budeme distribuovat nominální úrokovou sazbu i na n časová období, tímto způsobem bude složená úroková sazba i / n:
P = Pnebo [1+ (i / n)]n
Tento výraz vypadá trochu víc jako náš limit, ale stále není úplně stejný.
Po několika algebraických manipulacích je však možné ukázat, že provedením této změny proměnné:
h = n / i → i = n / h
Naše peníze P se stávají:
P = Pnebo [1+ (1 / h)]Ahoj = Pnebo [1+ (1 / h)]hi
A co je mezi klíči, i když je to psáno s písmenem h, se rovná argumentu limitu, který definuje číslo e, chybí pouze při převzetí limitu.
Udělejme h → ∞ a to, co je mezi složenými závorkami, se stává číslem a. To neznamená, že musíme na výběr peněz čekat nekonečně dlouho.
Když se na to podíváme pozorně h = n / i a inklinujeme k ∞, to, co jsme vlastně udělali, je rozdělení úrokové sazby velmi, velmi malá časová období:
i = n / h
Tomu se říká kontinuální složení. V takovém případě se množství peněz snadno vypočítá takto:
P = Pnebo .ai
Kde i je roční úroková sazba. Například při vkladu 12 EUR ve výši 9% ročně, prostřednictvím průběžné kapitalizace, po jednom roce máte:
P = 12 x e0,09 × 1 € = 13,13 €
Se ziskem 1,13 €.
Zatím žádné komentáře