A dokonalé číslo je přirozené číslo takové, že součet jeho dělitelů je stejný jako počet. Je zřejmé, že samotné číslo nelze mezi dělitele zahrnout.
Jedním z nejjednodušších příkladů dokonalého čísla je 6, protože jeho dělitele jsou: 1, 2 a 3. Pokud sečteme dělitele, získáme: 1 + 2 + 3 = 6.
Volá se součet dělitelů celého čísla, bez samotného čísla alikvotní část. Dokonalé číslo se tedy rovná jeho alikvotní části.
Pokud je však samotné číslo zahrnuto do součtu dělitelů čísla, pak dokonalé číslo bude takové, že součet všech jeho dělitelů dělený 2 se rovná samotnému číslu..
Rejstřík článků
Matematici starověku, zejména Řekové, přikládali velký význam dokonalým číslům a přisuzovali jim božské vlastnosti..
Například Philo z Alexandrie k prvnímu století potvrdil, že 6 a 28 jsou dokonalá čísla, která se shodují se šesti dny stvoření světa a dvaceti osmi dny, které trvá, než Měsíc obíhá Zemi..
Dokonalá čísla jsou také přítomná v přírodě, například na severním pólu Saturnu se také objevuje dokonalé číslo 6, vír ve tvaru šestiúhelníku nalezený sondou Cassini a který vědce zaujal..
Včelí plástve mají buňky v šestihranném tvaru, tj. Se 6 stranami. Ukázalo se, že mnohoúhelník s dokonalým číslem 6 je ten, který umožňuje maximalizovat počet buněk ve včelím úlu s minimem vosku pro jeho zpracování..
Součet všech dělitelů přirozeného čísla n je označen σ (n). V dokonalém počtu je splněno, že: σ (n) = 2n.
Euclid objevil vzorec a kritérium, které umožňuje najít perfektní čísla. Tento vzorec je:
dva(n-1) (dvan -1)
Číslo generované vzorcem však bude dokonalé, pouze když bude faktor (2n -1) být bratranec.
Podívejme se, jak se generují první dokonalá čísla:
Pokud n = 2, pak nám zbývá 21 (dvadva - 1) = 2 x 3 = 6, které jsme již viděli, je perfektní.
Když n = 3, máme 2dva (dva3 - 1) = 4 x 7 = 28, což je také perfektní, jak je podrobně ověřeno v příkladu 1.
Uvidíme, co se stane s n = 4. Když dosadíme do Euklidova vzorce, máme:
dva3 (dva4 - 1) = 8 x 15 = 120
Lze ověřit, že toto číslo není dokonalé, jak je podrobně uvedeno v příkladu 3. To není v rozporu s Euklidovým kritériem, protože 15 není prvočíslo, což je nezbytný požadavek, aby byl výsledek dokonalým číslem.
Nyní se podívejme, co se stane, když n = 5. Aplikujeme vzorec, který máme:
dva4 (dva5 - 1) = 16 x 31 = 496
Protože 31 je prvočíslo, musí být číslo 496 podle Euklidových kritérií dokonalé. V příkladu 4 je podrobně ukázáno, že tomu tak skutečně je.
Prvočísla, která mají tvar 2p - 1 se nazývají bratranci Mersenne, po mnichovi Marin Mersenne, který studoval prvočísla a dokonalá čísla již v 17. století..
Později v 18. století Leonhard Euler ukázal, že všechna dokonalá čísla generovaná Euklidovým vzorcem jsou sudá.
K dnešnímu dni nebyl nalezen žádný dokonalý, což je zvláštní.
K dnešnímu dni je známo 51 dokonalých čísel, která jsou generována vzorcem a Euklidovým kritériem. Toto číslo bylo získáno, jakmile byl nalezen větší bratranec Mersenne, což je: (282589933 - 1).
Perfektní číslo # 51 je (282589933) x (282589933 - 1) a má 49724095 číslic.
V teorii čísel se říká, že dvě čísla jsou přátelé, když se součet dělitelů jednoho, bez samotného čísla, rovná druhému číslu a naopak.
Čtenář si může ověřit, že součet dělitelů 220, bez 220, je 284. Na druhou stranu, součet dělitelů 284, bez 284, je roven 220. Proto je dvojice čísel 220 a 284 přátelé.
Z tohoto pohledu je dokonalým číslem přátelé sám se sebou..
Prvních osm dokonalých čísel je uvedeno níže:
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
V následujících cvičeních bude nutné vypočítat dělitele čísla, přidat je a ověřit, zda je číslo perfektní číslo nebo ne..
Proto předtím, než přistoupíme k cvičením, přezkoumáme koncept a ukážeme, jak se počítají..
Nejprve si musíte pamatovat, že čísla mohou být prvočísla (když je lze rozdělit pouze přesně na sebe a 1) nebo složená (když je lze rozložit jako produkt prvočísel).
Pro složené číslo N máme:
N = an . bm. Cp ... rk
Kde a, b, c… r jsou prvočísla an, m, p… k jsou exponenty patřící k přirozeným číslům, která mohou být od 1 dále.
Z hlediska těchto exponentů existuje vzorec, který má vědět, kolik dělitelů má číslo N, i když nám neříká, o co jde. Nechť C je toto množství, pak:
C = (n +1) (m + 1) (p +1) ... (k + 1)
Rozklad čísla N jako produktu prvočísel a znalost toho, kolik má dělitelů, prvočísel i jiných, nám pomůže určit, o co jde..
Jakmile je máte všechny, kromě posledního, který není v součtu vyžadován, můžete zkontrolovat, zda se jedná o dokonalé číslo nebo ne.
Ověřte, že číslo 28 je perfektní.
První věcí bude rozložit číslo na jeho hlavní faktory.
28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1
Jeho dělitele jsou: 1, 2, 4, 7, 14 a 28. Pokud vyloučíme 28, součet dělitelů dává:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28
Proto je 28 perfektní číslo.
Kromě toho je součet všech jeho dělitelů 28 + 28, takže je splněno pravidlo σ (28) = 2 x 28.
Rozhodování, zda je číslo 38 dokonalé nebo ne.
Číslo se rozloží na hlavní faktory:
39 | 3
13 | 13
01 | 1
Dělitele 39 bez zahrnutí samotného čísla jsou: 1, 3 a 13. Součet 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 se nerovná 39, proto 39 je nedokonalé nebo nedokonalé číslo.
Zjistěte, zda je anděl číslo 120 dokonalý nebo nedokonalý.
Pokračujeme v rozkladu čísla na jeho hlavní faktory:
120 | 2
060 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 | 1
Z hlavních faktorů pokračujeme v hledání dělitelů:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 a 120
Pokud by 120 bylo dokonalých, přidáním všech jeho dělitelů by se mělo získat 2 x 120 = 240.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
Tento výsledek se jasně liší od 240, takže se dospělo k závěru, že číslo 120 není dokonalé číslo..
Ověřte, že číslo 496, získané Euklidovým kritériem, je perfektní číslo.
Číslo 496 je rozloženo na hlavní faktory:
496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1
Takže její dělitelé jsou:
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496
Nyní jsou přidány všechny, kromě 496:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Potvrzujeme, že se skutečně jedná o dokonalé číslo.
Zatím žádné komentáře