The prvočísla, Nazývají se také absolutní prvočísla, jsou to přirozená čísla, která jsou dělitelná pouze mezi sebou a 1. Tato kategorie zahrnuje čísla jako: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 a mnoho dalších.
Místo toho je složené číslo dělitelné samo sebou, 1 a alespoň jedním dalším číslem. Máme například 12, které je dělitelné 1, 2, 4, 6 a 12. Podle konvence není 1 zahrnuta v seznamu prvočísel ani v seznamu sloučenin..
Znalost prvočísel sahá až do starověku; staří Egypťané je už používali a byli jistě známí dávno předtím.
Tato čísla jsou velmi důležitá, protože jakékoli přirozené číslo může být reprezentováno součinem prvočísel, toto vyjádření je jedinečné, s výjimkou pořadí faktorů.
Tato skutečnost je plně zakotvena ve větě zvané Základní teorém aritmetiky, který uvádí, že čísla, která nejsou prvočísla, jsou nutně tvořena součinem čísel, která jsou.
Rejstřík článků
Zde jsou hlavní charakteristiky prvočísel:
-Jsou nekonečné, protože bez ohledu na to, jak velké je prvočíslo, vždy můžete najít vyšší.
-Pokud je prvočíslo p nerozdělí přesně na jiné číslo na, pak se říká, že p Y na jsou si navzájem bratranci. Když k tomu dojde, jediný společný dělitel, který oba mají, je 1.
Není to nutné na být absolutním bratrancem. Například 5 je prvočíslo, a ačkoli 12 není, obě čísla jsou prvočísla navzájem, protože obě mají 1 jako společného dělitele..
-Když prvočíslo p rozdělit na mocninu čísla n, také rozdělit n. Uvažujme 100, což je mocnina 10, konkrétně 10dva. Stává se, že 2 rozdělí jak 100, tak 10.
-Všechna prvočísla jsou lichá s výjimkou 2, proto je jeho poslední číslice 1, 3, 7 nebo 9. 5 není zahrnuta, protože i když je liché a prvočíslo, nikdy nejde o konečnou číslici jiného prvočísla. Ve skutečnosti jsou všechna čísla, která končí 5, násobky toho, a proto nejsou prvočísla.
-Ano p je prvočíslo a dělitel součinu dvou čísel a. b, pak p rozdělit jeden z nich. Například prvočíslo 3 rozdělí produkt 9 x 11 = 99, protože 3 je dělitelem 9.
The primitivnost je název daný kvalitě bytí prime. Francouzský matematik Pierre de Fermat (1601-1665) našel způsob, jak ověřit primitivitu čísla, v tzv. Fermatova malá věta, To říká:
„Vzhledem k prvotnímu přirozenému číslu p a jakékoli přirozené číslo na větší než 0, je pravda, že nap - na je násobkem p, tak dlouho jak p být bratranec ".
Můžeme to potvrdit pomocí malého počtu, například předpokládejme p = 4, že už víme, že to není prime a a = 6:
64 - 6 = 1296 - 6 = 1290
Číslo 1290 není dělitelné přesně 4, proto 4 není prvočíslo.
Udělejme nyní test s p = 5, což je prvočíslo a a = 6:
65 - 6 = 7766 - 6 = 7760
7760 je dělitelné 5, protože jakékoli číslo, které končí na 0 nebo 5, je. Ve skutečnosti 7760/5 = 1554. Protože Fermatova malá věta platí, můžeme zajistit, že 5 je prvočíslo.
Důkaz prostřednictvím věty je efektivní a přímý s malými čísly, ve kterých je operace snadno proveditelná, ale co dělat, když jsme požádáni o zjištění primality velkého počtu?
V takovém případě je číslo postupně rozděleno mezi všechna menší prvočísla, dokud není nalezeno nějaké přesné dělení nebo podíl je menší než dělitel.
Pokud je jakékoli dělení přesné, znamená to, že číslo je složené a pokud je podíl menší než dělitel, znamená to, že číslo je prvočíslo. Uvedeme do praxe v řešeném cvičení 2.
Existuje nekonečné prvočíslo a neexistuje jediný vzorec, který by je určil. Při pohledu na některá prvočísla, jako jsou tato:
3, 7, 31, 127 ...
Bylo pozorováno, že jsou ve formě 2n - 1, s n = 2, 3, 5, 7, 9 ... Ujistíme se o tom:
dvadva - 1 = 4 - 1 = 3; dva3 - 1 = 8 - 1 = 7; dva5 - 1 = 32 - 1 = 31; dva7 - 1 = 128 - 1 = 127
Ale nemůžeme vás ujistit, že obecně 2n - 1 je prvočíslo, protože existují některé hodnoty n pro které to nefunguje, například 4:
dva4 - 1 = 16 - 1 = 15
A číslo 15 není prvočíslo, protože končí číslem 5. Jedno z největších známých prvočísel, zjištěné počítačovými výpočty, má však tvar 2n - 1 s:
n = 57 885 161
The Mersennova formule ujišťuje nás, že 2p - 1 je vždy prime, pokud p buď bratranec. Například 31 je prvočíslo, takže 2 je bezpečné31 - 1 je také:
dva31 - 1 = 2 147 483 647
Vzorec vám však umožňuje určit pouze některá prvočísla, ne všechna.
Následující polynom nám umožňuje najít prvočísla, pokud je n mezi 0 a 39:
P (n) = ndva + n + 41
Později v sekci řešených cvičení je příklad jeho použití.
Eratosthenes byl starořecký fyzik a matematik, který žil ve 3. století před naším letopočtem. Vymyslel grafickou metodu hledání prvočísel, která můžeme uvést do praxe s malými čísly, která se nazývá Eratosthenovo síto (síto je jako síto).
-Čísla jsou umístěna v tabulce, jako je ta, která je uvedena v animaci.
-Dále jsou sudá čísla přeškrtnuta, s výjimkou 2, o kterých víme, že je prvočíslo. Všichni ostatní jsou násobky toho, a proto nejsou hlavní.
-Násobky 3, 5, 7 a 11 jsou také označeny, kromě všech, protože víme, že jsou prvočísla.
-Násobky 4, 6, 8, 9 a 10 jsou již označeny, protože se jedná o sloučeniny, a tedy násobky některých z uvedených prvočísel.
-Nakonec jsou čísla ponechaná neoznačená prvočísla.
Pomocí Eulerova polynomu pro prvočísla najděte 3 čísla větší než 100.
Toto je polynom, který Euler navrhl k nalezení prvočísel, který funguje pro hodnoty n mezi 0 a 39.
P (n) = ndva + n + 41
Metodou pokusu a omylu vybereme hodnotu n, například n = 8:
P (8) = 8dva + 8 + 41 = 113
Protože n = 8 vytváří prvočíslo větší než 100, vyhodnotíme polynom pro n = 9 an = 10:
P (9) = 9dva + 9 + 41 = 131
P (10) = 10dva + 10 + 41 = 151
Zjistěte, zda jsou následující čísla prvočísla:
a) 13
b) 191
13 je dost malý na to, aby používal Fermatovu malou větu a pomoc kalkulačky.
Používáme a = 2, aby čísla nebyla příliš velká, i když lze použít také a = 3, 4 nebo 5:
dva13 - 2 = 8190
8190 je dělitelné 2, protože je sudé, proto 13 je prvočíslo. Čtenář to může potvrdit provedením stejného testu s a = 3.
191 je příliš velká na to, aby dokázala teorém a společnou kalkulačku, ale můžeme zjistit rozdělení mezi každým prvočíslem. Vynecháme dělení 2, protože 191 není rovnoměrné a dělení nebude přesné nebo bude podíl menší než 2.
Snažíme se dělit 3:
191/3 = 63 666 ...
A nedává přesné, ani není kvocient menší než dělitel (63 666… je větší než 3)
Pokračujeme v pokusu o rozdělení 191 mezi prvočísla 5, 7, 11, 13 a není dosaženo přesného rozdělení ani kvocient menší než dělitel. Dokud nebude vyděleno 17:
191/17 = 11, 2352 ...
Protože to není přesné a 11 2352… je méně než 17, je číslo 191 prvočíslo.
Zatím žádné komentáře