Co jsou trojúhelníková čísla? Vlastnosti a demonstrace

Je znám jako trojúhelníková čísla k posloupnosti čísel, která se získají vytvořením uspořádání nebo čísla bodů ve formě rovnostranného trojúhelníku. První v pořadí jsou: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

První trojúhelníkové číslo je 1, druhé je 3, protože se získá přidáním řady dvou bodů k předchozímu, aby se vytvořil rovnostranný trojúhelník tří prvků.

Třetí je šestka, která se objeví při přidání řady tří bodů k předchozímu uspořádání, a to takovým způsobem, že se vytvoří trojúhelník tří bodů na každé straně. 10 posloupnosti se získá přidáním dalšího řádku k předchozímu uspořádání, takže se vytvoří trojúhelník čtyř bodů na každé straně.

Vzorec, který umožňuje najít prvek n z trojúhelníkové posloupnosti je známé předchozí trojúhelníkové číslo:

T_n = T_n-1 + n

Seznam prvních šesti trojúhelníkových čísel se získá takto:

-První: 1

-Druhý: 1 + 2 = 3

-Třetí: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

-Ložnice: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

-Pátý: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

-Šestý: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

Rejstřík článků

• 1 Vlastnosti trojúhelníkových čísel
• 2 Demonstrace
  • 2.1 - Ukázka 1
  • 2.2 - Ukázka 2
  • 2.3 - Ukázka 3
  • 2.4 - Demonstrace 5
• 3 Odkazy

Vlastnosti trojúhelníkových čísel

1. - n-té trojúhelníkové číslo Tn posloupnosti trojúhelníkových čísel je polovina n vynásobená n + 1:

T_n = ½ n (n + 1)

2.- Součet n-tého trojúhelníkového čísla s předchozím trojúhelníkovým číslem, tj. (N-1) -té, je n na druhou:

T_n + T_n-1= n^dva

3. - Rozdíl n-tého trojúhelníkového čísla minus n-tého trojúhelníkového minus jednoho je n:

T_n - T_n-1 = n

4.- Součet prvních n trojúhelníkových čísel se nazývá čtyřboké číslo Sn a rovná se šesté části součinu n vynásobeného (n + 1) a vynásobených (n + 2):

S_n= ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5.- Každé přirozené číslo N je výsledkem součtu tří trojúhelníkových čísel:

N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Tato poslední vlastnost nebo věta byla objevena velkým matematikem Carlem Friedrichem Gaussem v roce 1796, který si poznamenal do svého deníku, který položil řecký obdiv Heuréka! co to znamená „Udělal jsem to“.

To bylo stejné slovo, které dávno předtím použil řecký Archimedes, když určoval zdánlivou váhu ponořeného těla..

V tomto vztahu se číslo nula považuje za trojúhelníkové a může se opakovat.

Demonstrace

- Ukázka 1

Prokázat, že trojúhelníkové číslo n-tento:

T_n = ½ n (n + 1)

Je snadné odvodit výše uvedený vzorec, pokud si uvědomíme, že můžeme přidat stejný počet bodů do trojúhelníkového uspořádání tak, aby tvořil čtyřúhelník bodů.

Vzhledem k tomu, že celkový počet bodů v uspořádání čtyřúhelníků je počet řádků n vynásobený počtem sloupců (n + 1), pak bude mít trojúhelníkové uspořádání pouze polovinu bodů čtyřúhelníkového uspořádání.

Zde je to znázorněno na obrázku 2.

- Ukázka 2

Ukažte, že součet n-číslo trojúhelníku s n-mínus jeden trojúhelníkové číslo je n na druhou:

T_n + T_n-1= n^dva

Již se ukázalo, že trojúhelníkové číslo n-je dáno vztahem:

T_n= ½ n (n + 1)

Proto je výše uvedené trojúhelníkové číslo:

T_n-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n - 1)

Součet obou je:

T_n + T_n-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n - 1)

Společný faktor ½ n se bere k získání:

T_n + T_n-1 = ½ n [(n + 1) + (n - 1)] = ½ n [n + 1 + n - 1]

Ihned se výraz uvnitř závorky zjednoduší:

T_n + T_n-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Vzpomínáme si, že ½ krát 2 je 1 a že n krát n je n na druhou, máme:

T_n + T_n-1 = n^dva

Tuto vlastnost lze také demonstrovat v geometrické formě, jednoduše vyplňte trojúhelník a vytvořte čtverec, jak je znázorněno na obrázku 3.

- Ukázka 3

Rozdíl trojúhelníkového pořadového čísla n minus trojúhelníkové číslo objednávky n-1 je n:

T_n - T_n-1 = n

To lze dokázat jednoduše zapamatováním, že následující trojúhelníkové číslo se získá z předchozího pomocí vzorce:

T_n = T_n-1 + n

A odtud je zřejmé, že T_n - T_n-1 = n. Je také snadné si to graficky vizualizovat, jak ukazuje obrázek 4.

- Ukázka 5

Součet prvních n trojúhelníkových čísel Sn se rovná jedné šestině součinu n vynásobeného (n + 1) a vynásobeného (n + 2):

S_n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Využijme trojúhelníkové číslo řádu n: T_n= ½ n (n + 1). Součet prvního n trojúhelníková čísla to označují S_n  

Například, S₁ znamená součet prvního trojúhelníkového čísla, který bude nepochybně 1.

Dále se podívejme, zda vzorec, který se snažíme testovat, platí pro n = 1:

S₁ = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

Ve skutečnosti je vzorec pro n = 1 ověřen. Je snadné si představit, že součet prvních n + 1 trojúhelníkových čísel bude součtem prvních n plus další trojúhelníkové číslo:

S_{n + 1} = S_n + T_{n + 1}

Nyní předpokládejme, že vzorec pro S_n platí pro n, potom jej dosadíme do předchozího výrazu a přidáme trojúhelníkové číslo řádu n + 1:

S_{n + 1} = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]

Podívejme se krok za krokem, co získáte:

-Provádíme součet dvou zlomkových výrazů:

S_{n + 1} = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12 

-Převezme se ze společného faktoru čitatele na 2 (n + 1) (n + 2) a zjednoduší:

S_{n + 1} = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

Výše uvedený výsledek souhlasí s vzorcem pro Sn je-li n nahrazeno n + 1, což se ukázalo indukcí, vzorec pro součet prvních n trojúhelníkových členů.

Čtyřboké číslo

Výsledek takto získaný se nazývá čtyřboká číslo řádu n, protože je to jako hromadit trojúhelníkové vrstvy, které tvoří čtyřstěn, jak ukazuje následující animace.

Reference

1. Camacho J. Neočekávaný výskyt trojúhelníkových čísel. Obnoveno z: masscience.com
2. Claudio. Trojúhelníková čísla. Obnoveno z: jednoduše čísla. blogspot. com
3. Wikipedia. Trojúhelníkové číslo. Obnoveno z: es.wikipedia.com
4. Wikipedia. Trojúhelníkové číslo. Obnoveno z: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Tretrahedral číslo. Obnoveno z: en.wikipedia.com