The evakuační systémy Skládají se ze dvou nebo více rovnic s několika proměnnými, které musí mít společné řešení. Jsou časté, protože v praxi existuje řada situací, které závisí na mnoha faktorech, které spolu souvisejí různými způsoby.
Obecně má systém rovnic následující tvar, kde každá funkce představuje jednu z podmínek, které musí řešení splňovat:
Podívejme se na příklad: Předpokládejme, že musíte vyrobit obdélníkové listy papíru o ploše 180 cmdva a které mají obvod 54 cm. Jaké by měly být rozměry listu?
Pro zodpovězení otázky bereme v úvahu, že rozměry obdélníkového listu jsou dva: šířka a výška. To znamená, že máme 2 proměnné, kterým dáme obvyklá jména X a Y.
A tyto proměnné musí splňovat dvě podmínky uložené současně:
-První podmínka: plocha listu je 180 cmdva. Toto bude první funkce: F1.
-Druhá podmínka: obvod nebo obrys listu musí být 54 cm. Toto je druhá funkce Fdva.
Pro každou podmínku je rovnice stanovena pomocí algebraického jazyka. Plocha A obdélníkového listu se získá vynásobením šířky a výšky:
A = x.y = 180 cmdva
A obvod P je výsledkem přidání stran. Protože obvod je součtem stran:
P = 2x + 2y = 54 cm
Výsledný systém dvou rovnic a dvou neznámých je:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Potřebujeme dvě čísla, jejichž součin je 180 a dvojnásobný součin jejich součtu je 54, nebo co je stejné: sečteno musí dát 27. Tato čísla jsou 12 a 15.
V části řešených cvičení nabídneme podrobnou metodu k nalezení těchto hodnot, přičemž čtenář si může snadno ověřit dosazením, že účinně splňují obě rovnice.
Rejstřík článků
Situace navržená výše obsahuje 2 proměnné a k jejich nalezení jsou zapotřebí alespoň 2 rovnice. Existují systémy s mnohem více proměnnými, ale v každém případě, pokud systém má n z nich to vyžaduje minimálně n rovnice nezávislé na sobě (jedna nemůže být lineární kombinací ostatních) k nalezení řešení, pokud existuje.
Pokud jde o aplikace, je jich mnoho. Zde jsou některé, ve kterých systémy rovnic dokazují svou užitečnost:
-Nalezení proudů, které protékají obvodem pomocí Kirchoffových zákonů.
-V pozemní a letecké dopravě stanovit časy odletů a příletů.
-Najděte velikosti sil v dynamických nebo statických systémech, které podléhají více interakcím.
-Znát množství prodaných položek během určitého časového období nebo v továrnách, určit rozměry předmětů tak, aby splňovaly určité podmínky, pokud jde o povrch nebo objem.
-Při rozhodování o tom, jak rozdělit kapitál do různých investic.
-Stanovte sazby pro různé služby, například telekomunikace nebo přehlídky, a znáte množství shromážděných peněz (viz vyřešený příklad 2)
-Je vybrána rovnice a je vyřešena jedna z proměnných.
-Pak musíme nahradit vymazanou proměnnou v jiné rovnici. Pak odtud tato proměnná zmizí a pokud má systém dvě rovnice a dvě neznámé, zůstane rovnice s proměnnou, kterou lze již vyřešit.
-Pokud má systém více než dvě proměnné, musíme vyřešit třetí neznámou z jiné rovnice a také ji nahradit.
Příkladem aplikace této metody je řešené cvičení 1.
Tato metoda spočívá v přidání nebo odečtení rovnic, aby se odstranila jedna nebo více proměnných a ponechala se pouze jedna. K tomu je vhodné vynásobit rovnice takovým faktorem, že při přidání s jinou rovnicí neznámé zmizí. Podívejme se na příklad:
3xdva - Ydva = 11
Xdva + 4rdva = 8
Násobíme první rovnici 4:
12xdva - 4rdva = 44
Xdva + 4rdva = 8
Jejich přidáním neznámé zmizí Y, zbývající:
13xdva = 52
Xdva = 4
Proto x1 = 2 a xdva = -2. Pomocí těchto hodnot může čtenář zkontrolovat, zda a1 = 1 a ydva = -1
Když systém tvoří dvě rovnice se dvěma neznámými:
-Vyberte neznámé a vyřešte pro obě rovnice.
-Výsledky jsou vyrovnány, což umožňuje získat jedinou rovnici s jedinou neznámou.
-Tato rovnice je vyřešena a výsledek je nahrazen v jedné z předchozích vůlí, aby byla získána hodnota druhé neznámé..
Tato metoda bude použita v řešeném cvičení 2 následující části.
Tato metoda spočívá v grafu křivek, které každá rovnice představuje. Průsečík je řešením systému. Následující příklad ukazuje grafické řešení systému:
Xdva + Y dva = 1
2x + 4y = 0
První z rovnic je kruh o poloměru 1 se středem v počátku a druhá je přímka.
Průsečík obou jsou dva body zobrazené modře. Čtenář může ověřit, že dosazením souřadnic bodů ve výše uvedených rovnicích se získá rovnost.
Musíte udělat obdélníkové listy papíru o ploše 180 cmdva as obvodem 54 cm. Jaké by měly být rozměry listu?
Systém, který je třeba vyřešit, je:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Druhá rovnice může být zjednodušena na x + y = 27, proto:
xy = 180
x + y = 27
Vyřešte jednu z neznámých ve druhé rovnici:
y = 27 - x
Světlá výška je nahrazena v první:
(27 -x) = 180
Uplatnění distribuční vlastnosti:
-Xdva + 27x = 180
Vynásobením (-1) na obou stranách rovnice a odesláním 180 na levou stranu:
Xdva - 27x +180 = 0
Výsledkem je rovnice druhého stupně v x, kterou vyřeší vzorec:
S a = 1, b = -27 a c = 180
Zábavní park má následující vstupné: děti 1,5 $ a dospělí 4 $. Za jeden den tam bylo 2 200 návštěvníků, což zvýšilo 5050 dolarů. Zjistěte počet dětí a dospělých, kteří ten den park navštívili.
Být X počet dětí a Y počet dospělých. Můžeme vytvořit první z rovnic s vědomím, že součet obou musí být 2200:
x + y = 2200.
Teď jdeme s vyzvednutými penězi. Cena dětského lístku je 1,5 $ za každé dítě, vynásobením této hodnoty x, počtu dětí, budeme mít částku za dětský lístek:
1,5x = peníze získané za dětské jízdenky
A pokud vynásobíme 4 $ za dospělého počtem a počtem dospělých návštěvníků, dostaneme celkové peníze za všechny dospělé:
4y = peníze získané z lístků pro dospělé
Přidáme to dohromady, abychom získali 5050 $:
1,5x + 4y = 5050
Náš systém rovnic je:
x + y = 2200
1,5x + 4y = 5050
Pojďme to vyřešit ekvalizací. Izolujeme proměnnou y z první a druhé rovnice:
y = 2200 - x
y = (5050 - 1,5 x) / 4
Shodujeme se s oběma výrazy:
2200 - x = (5050 - 1,5x) / 4
Vynásobíme vše 4, abychom vyloučili zlomek:
8800 - 4x = 5050 - 1,5x
Seskupujeme výrazy s x vlevo a čistá čísla vpravo:
-4x + 1,5x = 5050 - 8800
-2,5x = -3750
x = 1 500 dětí.
Tuto hodnotu dosadíme do y = 2200 - x, abychom zjistili počet dospělých:
y = 2200 - 1500 = 700 dospělých.
Zatím žádné komentáře