The revoluční těleso Jedná se o trojrozměrný obrazec, který je generován otáčením plochého povrchu kolem osové osy nebo osy otáčení. Obrázek 1 ukazuje animaci rotačního tělesa generovaného tímto způsobem.
Další velmi snadno vizualizovatelný příklad spočívá v generování pravého kruhového válce, otáčení obdélníku o výšce nebo délce h a poloměru r kolem kladné osy x (obrázek 2). Chcete-li zjistit jeho objem, existuje známý vzorec:
V = plocha základny x výška
Dalšími rotačními tělesy jsou koule, pravý kruhový kužel a různé obrazce, v závislosti na rotační ploše a samozřejmě na vybrané ose..
Například otáčení půlkruhu kolem čáry rovnoběžné s průměrem dává těleso duté revoluce.
Pro válec, kužel, kouli, plnou i dutou, existují vzorce pro zjištění objemu, který závisí na poloměru a výšce. Pokud jsou však generovány jinými povrchy, objem se vypočítá pomocí určitých integrálů.
Rejstřík článků
Rotující tělesa lze klasifikovat podle křivky, která je generuje:
Stačí otočit půlkruh kolem osy, která bude průměrem koule o poloměru R. Jeho objem je:
PROTIkoule = (4/3) πR3
Chcete-li získat kužel výšky H a poloměru R, je povrch, který se má otáčet, pravý trojúhelník kolem osové osy, který prochází jedním z ramen. Jeho objem je:
PROTIkužel = (1/3) πHRdva
Otočením obdélníku kolem osové osy, která prochází jednou ze stran, což může být krátká strana nebo dlouhá strana, získáme pravý kruhový válec o poloměru R a výšce H, jehož objem je:
PROTIválec = πRdvaH
Torus má tvar koblihy. Získává se točením kruhové oblasti kolem čáry v rovině, která neprotíná kruh. Jeho objem je dán:
PROTItorus = 2πadvaR
Kde a je poloměr průřezu a R je poloměr torusu podle schématu uvedeného na obrázku:
V integrálním počtu jsou tyto dvě metody časté:
-Disky a podložky
-Mušle
Při krájení rotačního tělesa může být průřezem disk, pokud je těleso plné, nebo to může být druh podložky (disk s otvorem uprostřed), pokud jde o duté těleso..
Předpokládejme, že se planární oblast otáčí kolem vodorovné osy. Z této ploché oblasti vezmeme malý obdélník o šířce Δx, který se otáčí kolmo kolem osové osy.
Výška obdélníku je mezi nejvzdálenější křivkou R (x) a nejvnitřnější křivkou r (x). Odpovídají vnějšímu poloměru a vnitřnímu poloměru..
Provedením této rotace se vytvoří podložka o objemu ΔV, daná vztahem:
ΔV = Plný objem - objem otvoru (pokud existuje)
Pamatujte, že objem pravého kruhového válce je π. rádiodva x výška, máme:
ΔV = π [R.dva(x) - rdva(x)] Δx
Tuhá látka může být rozdělena do mnoha malých objemových částí ΔV. Pokud je přidáme všechny, budeme mít celý svazek.
K tomu uděláme objem ΔV tendenci k 0, s nímž se Δx také stává velmi malým a stává se diferenciálním dx.
Takže máme integrál:
V = ∫nab π [R.dva(x) - rdva(x)] dx
V případě, že těleso je těleso, pak funkce r (x) = 0, řez tělesa, který je generován, je disk a objem zůstane:
V = ∫nab πRdva(x) dx
Když je osa otáčení svislá, mají výše uvedené rovnice tvar:
V = ∫nab π [R.dva (y) - rdva (y)] dy y V = ∫nab πRdva(y) dy
Jak název napovídá, tato metoda spočívá v předpokladu, že těleso sestává z vrstev různé tloušťky. Vrstva je tenká trubice, která pochází z rotace obdélníku rovnoběžného s osou rotace.
Máme následující rozměry:
-Výška obdélníku w
-Jeho zeměpisná délka h
-Vzdálenost od středu obdélníku k ose otáčení p
S vědomím, že objem vrstvy je vnější objem - vnitřní objem:
π (p + w / 2)dvah - π (p - w / 2)dvah
Vývojem pozoruhodných produktů a zjednodušením získáte:
Objem vrstvy = 2π⋅p⋅w⋅h
Nyní udělejme výšku w obdélníku Δy, jak je vidět na následujícím obrázku:
Díky tomu je objem ΔV:
ΔV = 2π p x h x Δy
A dělat počet vrstev n je velmi velký, Δy se stává diferenciálním dy, s nímž je celkový objem integrálem:
V = ∫Cd 2π p (y) h (y) dy
Popsaný postup platí obdobně, když je osa otáčení svislá:
Najděte objem generovaný rotací rovinné oblasti mezi křivkami:
y = xdva; y = 0; x = 2
Kolem osy y.
-První věc, kterou musíme udělat, je vytvořit graf oblasti, která bude generovat rotační těleso a označovat osu otáčení. Máme to v následujícím grafu:
-Nyní hledáme průsečíky mezi křivkou y = xdva a přímka x = 2. Přímka y = 0 pro svoji část není nic jiného než osa x.
Z grafu je snadno vidět, že parabola a přímka se protínají v bodě (2,4), který je potvrzen dosazením x = 2 v y = xdva.
-Poté je vybrána jedna z metod výpočtu objemu, například metoda vrstvy se svislou osou otáčení:
V = ∫nab 2π p (x) h (x) dx
Důležité: U metody vrstvení je dlouhá strana obdélníku rovnoběžná s osou otáčení.
Poloměr vrstvy je X
Výška obdélníku je určena parabolou xdva.
Integrační proměnná je x, která se pohybuje mezi 0 a 2, s tím máme limity integrace. Nahrazení výrazů pro p (x) a h (x)
Zatím žádné komentáře