The Riemannova suma je název pro přibližný výpočet určitého integrálu pomocí diskrétního součtu s konečným počtem členů. Běžnou aplikací je aproximace oblasti funkcí v grafu.
Byl to německý matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), který jako první nabídl přísnou definici integrálu funkce v daném intervalu. Dal to najevo v článku publikovaném v roce 1854.
Riemannova suma je definována funkcí y = f (x), přičemž x patří do uzavřeného intervalu [a, b]. V tomto intervalu je vytvořen oddíl P z n prvků:
P = x0= a, x1, Xdva,..., Xn= b
To znamená, že interval je rozdělen takto:
Xk-1 ≤ tk ≤ xk
Obrázek 1 graficky ukazuje Riemannov součet funkce f na intervalu [x0, X4] na oddílu se čtyřmi podintervaly, šedými obdélníky.
Součet představuje celkovou plochu obdélníků a výsledek tohoto součtu se číselně přibližuje ploše pod křivkou f, mezi úsečkou x = x0 y x = x4.
S přibývajícím číslem se samozřejmě výrazně zlepšuje aproximace oblasti pod křivkou n oddíly je větší. Tímto způsobem součet konverguje do oblasti pod křivkou, když je číslo n oddílů má sklon k nekonečnu.
Rejstřík článků
Riemannova suma funkce f (x) na oddílu:
P = x0= a, x1, Xdva,..., Xn= b
Definovaný na intervalu [a, b] je dán vztahem:
S (P, f) = ∑k = 1n f (tk) (Xk - Xk-1)
Kde Tk je hodnota v intervalu [xk, Xk-1]. V Riemannově součtu se obvykle používají pravidelné intervaly šířky Δx = (b - a) / n, kde a a b jsou minimální a maximální hodnoty úsečky, zatímco n je počet dělení.
V takovém případě Riemann správný součet to je:
Sd (f, n) = [f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f (a + (n-1) Δx) + f (b)] * Δx
Zatímco Riemann levý součet je vyjádřena jako:
If (f, n) = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
Nakonec centrální Riemannova suma to je:
Sc (f, n) = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Podle toho, kde se nachází bod tk na intervalu [xk, Xk-1] Riemannova suma může nadhodnocovat nebo podceňovat přesnou hodnotu oblasti pod křivkou funkce y = f (x). Jinými slovy, obdélníky mohou vyčnívat z křivky nebo být mírně pod ní..
Hlavní vlastností Riemannova součtu a od které se odvíjí její důležitost je to, že má-li počet dělení sklon k nekonečnu, výsledek součtu konverguje k definitivnímu integrálu funkce:
Vypočítejte hodnotu určitého integrálu mezi a = -2 až b = +2 funkce:
f (x) = xdva
Využijte Riemannovu sumu. Chcete-li to provést, nejprve najděte součet pro n pravidelných oddílů intervalu [a, b] a poté vezměte matematický limit pro případ, že počet oddílů má sklon k nekonečnu.
Jedná se o následující kroky:
-Nejprve definujte interval oddílů jako:
Δx = (b - a) / n.
-Pak Riemannova suma zprava odpovídající funkci f (x) vypadá takto:
[-2 + (4i / n)]dva = 4 - (16 i / n) + (4 / n)dva idva
-A pak je pečlivě nahrazen v součtu:
-Dalším krokem je oddělení součtů a konstantní veličiny jako společný faktor každého součtu. Je třeba vzít v úvahu, že index je i, tedy čísla a termíny s n jsou považovány za konstantní:
-Každý součet je vyhodnocen, protože pro každý z nich existují příslušné výrazy. Například první ze součtů dává n:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ndva
-Nakonec máme, že integrál, který chceme vypočítat, je:
= 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5,333
Čtenář si může ověřit, že se jedná o přesný výsledek, kterého lze dosáhnout řešením neurčitého integrálu a vyhodnocením mezí integrace podle Barrowova pravidla.
Přibližně určete oblast pod funkcí:
f (x) = (1 / √ (2π)) e(-Xdva/dva)
Zadejte x = -1 a x = + 1 pomocí centrální Riemannovy sumy s 10 oddíly. Porovnejte s přesným výsledkem a odhadněte procentní rozdíl.
Krok nebo přírůstek mezi dvěma po sobě jdoucími diskrétními hodnotami je:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Takže oddíl P, na kterém jsou definovány obdélníky, vypadá takto:
P = -1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0
Ale protože se hledá centrální součet, bude funkce f (x) vyhodnocena ve středech podintervalů, tedy v množině:
T = -0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.
(Centrální) Riemannova suma vypadá takto:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Protože funkce f je symetrická, je možné snížit součet pouze na 5 členů a výsledek se vynásobí dvěma:
S = 2 * 0,2 * f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)
S = 2 * 0,2 * 0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266 = 0,683
Funkce uvedená v tomto příkladu není nic jiného než známý Gaussův zvon (normalizovaný, s průměrem rovným nule a směrodatnou odchylkou). Je známo, že plocha pod křivkou v intervalu [-1,1] pro tuto funkci je 0,6827.
To znamená, že přibližné řešení s pouhými 10 členy odpovídá přesnému řešení na tři desetinná místa. Procentní chyba mezi přibližným a přesným integrálem je 0,07%.
Zatím žádné komentáře