The diskrétní Fourierova transformace je numerická metoda používaná k definování vzorků odkazujících na spektrální frekvence, které tvoří signál. Studujte periodické funkce v uzavřených parametrech, čímž získáte další diskrétní signál.
Pro získání diskrétní Fourierovy transformace N bodů musí být na diskrétním signálu splněny následující 2 podmínky v posloupnosti x [n]
x [n] = 0 n < 0 ˄ n > N - 1
Pokud jsou tyto podmínky splněny, lze diskrétní Fourierovu transformaci definovat jako
Diskrétní Fourierova transformace může být definována jako vzorkování N-bodu Fourierovy transformace.
Rejstřík článků
Existují 2 úhly pohledu, ze kterých lze interpretovat výsledky získané na posloupnosti xs[n] prostřednictvím diskrétní Fourierovy transformace.
-První odpovídá spektrálním koeficientům, známým již z Fourierovy řady. Je to pozorováno v diskrétních periodických signálech, přičemž vzorky se shodují se sekvencí xs[n].
-Druhý se zabývá spektrem diskrétního neperiodického signálu se vzorky odpovídajícími posloupnosti xs[n].
Diskrétní transformace je aproximací spektra původního analogového signálu. Jeho fáze závisí na instancích vzorkování, zatímco její velikost závisí na intervalu vzorkování..
Algebraické základy struktury tvoří logické základy následujících částí.
C. Sn → C. F[Sk]; Pokud je sekvence vynásobena skalárem, bude také její transformace.
Tn + PROTIn = F [Tk] + F [V.k]; Transformace součtu se rovná součtu transformací.
F [Sn] → (1 / N) S-k; Pokud se diskrétní Fourierova transformace přepočítá na již transformovaný výraz, získá se stejný výraz, změřený v N a převrácený vzhledem k vertikální ose.
Sledováním podobných cílů jako v Laplaceově transformaci se konvoluce funkcí týká produktu mezi jejich Fourierovými transformacemi. Konvoluce platí také pro diskrétní časy a je zodpovědná za mnoho moderních postupů..
Xn * R.n → F [Xn] .F [R.n]; Transformace konvoluce se rovná součinu transformací.
Xn . Rn→ F [Xn] * F [Rn]; Transformace produktu se rovná konvoluci transformací.
Xn-m → F [Xk] e -i (2π / N) km ; Pokud je sekvence zpožděna v m vzorcích, bude jejím účinkem na diskrétní transformaci modifikace úhlu definovaného (2π / N) km.
Xt [-k] = X *t[k] = Xt [N - K]
Ž-nmN . x [n] ↔ Xt[k - m]
x [n] y [n] ↔ (1 / N) Xt[k] * Yt[k]
X [-n] ↔ Xt[-k] = X *t[k]
x * [n] ↔ X *t[-k]
S ohledem na konvenční Fourierovu transformaci má několik podobností a rozdílů. Fourierova transformace převádí sekvenci na plnou čáru. Tímto způsobem se říká, že výsledkem Fourierovy proměnné je komplexní funkce skutečné proměnné.
Diskrétní Fourierova transformace, na rozdíl od toho, přijímá diskrétní signál a transformuje jej do jiného diskrétního signálu, tj. Sekvence.
Slouží především k významnému zjednodušení rovnic a při transformaci odvozených výrazů na výkonové prvky. Označujeme diferenciální výrazy ve formách integrovatelných polynomů.
Při optimalizaci, modulaci a modelování výsledků funguje jako standardizovaný výraz a je častým zdrojem pro inženýrství po několika generacích.
Tento matematický koncept představil Joseph B. Fourier v roce 1811 při přípravě pojednání o šíření tepla. To bylo rychle přijato různými odvětvími vědy a techniky.
Byl ustanoven jako hlavní pracovní nástroj při studiu rovnic s parciálními derivacemi, dokonce i při srovnání s existujícím pracovním vztahem mezi Laplaceova transformace a obyčejné diferenciální rovnice.
Každá funkce, se kterou lze pracovat pomocí Fourierovy transformace, musí mít null mimo definovaný parametr.
Diskrétní transformace se získá výrazem:
Po zadání diskrétní sekvence X [n]
Inverze diskrétní Fourierovy transformace je definována výrazem:
Jakmile je dosaženo diskrétní transformace, umožňuje definovat sekvenci v časové doméně X [n].
Proces parametrizace odpovídající diskrétní Fourierově transformaci spočívá v okně. Abychom transformaci provedli, musíme omezit sekvenci v čase. V mnoha případech dotyčné signály tato omezení nemají.
Sekvence, která nesplňuje kritéria velikosti, která se má použít pro diskrétní transformaci, lze vynásobit funkcí „okna“ V [n], která definuje chování sekvence v řízeném parametru.
X [n]. V [n]
Šířka spektra bude záviset na šířce okna. Jak se šířka okna zvětšuje, vypočítaná transformace bude užší.
Diskrétní Fourierova transformace je mocným nástrojem při studiu diskrétních sekvencí.
Diskrétní Fourierova transformace transformuje spojitou proměnnou funkci na diskrétní proměnnou transformaci.
Cauchyho problém pro rovnici tepla představuje časté pole použití diskrétní Fourierovy transformace. Kde je funkce generována tepelné jádro nebo Dirichletovo jádro, který platí pro vzorkování hodnot v definovaném parametru.
Obecným důvodem pro použití diskrétní Fourierovy transformace v této větvi je hlavně charakteristický rozklad signálu jako nekonečná superpozice snáze zpracovatelných signálů.
Může to být zvuková vlna nebo elektromagnetická vlna, diskrétní Fourierova transformace ji vyjadřuje v superpozici jednoduchých vln. Toto zastoupení je v elektrotechnice poměrně časté.
Jsou to řady definované ve smyslu kosinů a sinusů. Slouží k usnadnění práce s obecnými periodickými funkcemi. Jsou-li použity, jsou součástí technik řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic..
Fourierovy řady jsou ještě obecnější než Taylorovy řady, protože vyvíjejí periodické diskontinuální funkce, které nemají Taylorovu řadu..
Abychom analyticky pochopili Fourierovu transformaci, je důležité přezkoumat další způsoby, kterými lze Fourierovu řadu nalézt, dokud nebudeme moci definovat Fourierovu řadu v její složité notaci..
Mnohokrát je nutné přizpůsobit strukturu Fourierovy řady periodickým funkcím, jejichž perioda je v intervalu p = 2L> 0 [-L, L].
Uvažuje se o intervalu [-π, π], který nabízí výhody při využívání výhod symetrických charakteristik funkcí.
Pokud je f sudé, je Fourierova řada ustanovena jako řada kosinů.
Pokud je f liché, je Fourierova řada ustanovena jako řada Sines.
Pokud máme funkci f (t), která splňuje všechny požadavky Fourierovy řady, je možné ji v intervalu [-t, t] označit pomocí její komplexní notace:
Pokud jde o výpočet základního řešení, jsou uvedeny následující příklady:
Laplaceova rovnice
Tepelná rovnice
Schrödingerova rovnice
Vlnová rovnice
Na druhé straně jsou příklady aplikace diskrétní Fourierovy transformace v oblasti teorie signálů:
-Problémy s identifikací systému. Stanoveno f a g
-Problém konzistence výstupního signálu
-Problémy s filtrováním signálu
Vypočítejte diskrétní Fourierovu transformaci pro následující sekvenci.
PTO x [n] můžete definovat jako:
Xt[k] = 4, -j2, 0, j2 pro k = 0, 1, 2, 3
Chceme určit pomocí digitálního algoritmu spektrální signál definovaný výrazem x (t) = e-t. Kde je maximální koeficient požadující frekvenci fm= 1 Hz. Harmonická odpovídá f = 0,3 Hz. Chyba je omezena na méně než 5%. Vypočítat Fs , D a N.
S přihlédnutím k vzorkovací větě Fs = 2fm = 2 Hz
Frekvenční rozlišení F0 = 0,1 Hz, odkud získáte D = 1 / 0,1 = 10 s
0,3 Hz je frekvence odpovídající indexu k = 3, kde N = 3 × 8 = 24 vzorků. Naznačující to Fs = N / A = 24/10 = 2,4> 2
Jelikož cílem je získat nejnižší možnou hodnotu pro N, lze za řešení považovat následující hodnoty:
F0 = 0,3 Hz
D = 1 / 0,3 = 3,33 s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
Zatím žádné komentáře