Trajektorie fyzikálních charakteristik, typů, příkladů a cvičení

The trajektorie ve fyzice Jedná se o křivku, kterou mobil popisuje, jak prochází po sobě následujícími body během svého pohybu. Vzhledem k tomu, že může přijmout nekonečné množství variant, změní se i trajektorie, které může mobil sledovat.

Aby se člověk dostal z jednoho místa na druhé, může se vydat různými cestami a různými způsoby: pěšky po chodnících v ulicích a ulicích nebo přijet autem nebo motocyklem po dálnici. Během procházky lesem může chodec sledovat komplikovanou cestu, která zahrnuje zatáčky, stoupání nebo klesání v úrovni a dokonce několikrát prochází stejným bodem.

Pokud body, kterými mobilní zařízení jede, sledují přímku, bude trajektorie přímočará. Toto je nejjednodušší cesta, protože je jednorozměrná. Určení polohy vyžaduje jednu souřadnici.

Ale mobil může sledovat křivočarou cestu a může být uzavřen nebo otevřen. V těchto případech vyžaduje sledování polohy dvě nebo tři souřadnice. Jedná se o pohyby v rovině a v prostoru. To má co do činění s Odkazy: materiální podmínky omezující pohyb. Některé příklady jsou:

- Dráhy, které popisují planety kolem Slunce, jsou uzavřené elipsovité cesty. I když v některých případech je lze aproximovat na kruhový, jako v případě Země.

- Míč, který brankář kopne do gólového kopu, sleduje parabolickou trajektorii.

- Pták v letu popisuje křivočaré trajektorie ve vesmíru, protože kromě pohybu v letadle může libovolně stoupat nebo klesat na úrovni.

Trajektorie ve fyzice může být vyjádřena matematicky, když je známa poloha mobilního telefonu v kterémkoli okamžiku. Být r vektor polohy, který má zase souřadnice X, Y Y z v nejobecnějším případě pohybu ve třech rozměrech. Znát funkci r (t) trajektorie bude zcela určena.

Rejstřík článků

• 1 typů
  • 1.1 Pohyby v jednom, dvou a třech rozměrech
• 2 Příklady
  • 2.1 Cesta mobilního telefonu explicitním, implicitním a parametrickým způsobem
• 3 Vyřešená cvičení
  • 3.1 Vyřešené cvičení 1
  • 3.2 Cvičení vyřešeno 2
  • 3.3 Cvičení vyřešeno 3
• 4 Odkazy

Typy

Obecně může být trajektorie poměrně komplikovaná křivka, zvláště pokud ji chcete vyjádřit matematicky. Z tohoto důvodu začíná u nejjednodušších modelů, kde mobilní telefony cestují po přímce nebo po rovině, kterou může být podlaha nebo jakýkoli jiný vhodný:

Pohyby v jednom, dvou a třech rozměrech

Nejvíce studované trajektorie jsou:

- Přímočarý, při jízdě po vodorovné, svislé nebo nakloněné přímce. Míč hozený svisle nahoru sleduje tuto cestu, nebo objekt, který se sklouzává po svahu, následuje. Jsou to jednorozměrné pohyby, k úplnému určení jejich polohy stačí jediná souřadnice..

- Parabolický, ve kterém mobil popisuje oblouk paraboly. Je to časté, protože jakýkoli objekt šikmo vržený působením gravitace (projektil) sleduje tuto trajektorii. Chcete-li určit polohu mobilního telefonu, musíte zadat dvě souřadnice: X Y Y.

- Oběžník, nastane, když pohybující se částice sleduje kruh. Je také běžné v přírodě a v každodenní praxi. Mnoho předmětů každodenní potřeby sleduje kruhové dráhy, jako jsou pneumatiky, části strojů a obíhající satelity..

- Eliptický, objekt se pohybuje po elipsě. Jak bylo řečeno na začátku, je to dráha, po které planety obíhají kolem Slunce.

- Hyperbolický, Astronomické objekty pod působením centrální síly (gravitace) mohou sledovat eliptické (uzavřené) nebo hyperbolické (otevřené) trajektorie, které jsou méně časté než předchozí.

- Spirálovitý, nebo spirálový pohyb, jako pták stoupající v tepelném proudu.

- Houpačka nebo kyvadlo, mobil popisuje oblouk v pohybech tam a zpět.

Příklady

Trajektorie popsané v předchozí části jsou velmi užitečné pro rychlou představu o tom, jak se objekt pohybuje. V každém případě je nutné objasnit, že trajektorie mobilního telefonu závisí na poloze pozorovatele. To znamená, že stejnou událost lze vidět různými způsoby v závislosti na tom, kde se každá osoba nachází..

Například dívka šlapá konstantní rychlostí a hodí míč nahoru. Poznamenává, že míč popisuje přímočarou dráhu. 

Avšak pro pozorovatele stojícího na silnici, který vidí přihrávku, bude mít míč parabolický pohyb. Pro něj byl míč zpočátku hozen nakloněnou rychlostí, což bylo důsledkem rychlosti vzhůru dívčí ruky a rychlosti kola..

Cesta mobilního telefonu explicitním, implicitním a parametrickým způsobem

- Výslovný, přímé zadání křivky nebo lokusu daného rovnicí y (x)

- Implicitní, ve kterém je křivka vyjádřena jako f (x, y, z) = 0

-Parametrické, v této formě jsou souřadnice x, yaz uvedeny jako funkce parametru, který je obecně zvolen jako čas t. V tomto případě je trajektorie tvořena funkcemi: x (t), a (t) Y z (t).

Dále jsou podrobně popsány dvě trajektorie, které byly široce studovány v kinematice: parabolická trajektorie a kruhová trajektorie..

Nakloněné spuštění do vakua

Objekt (projektil) je vržen pod úhlem a s vodorovnou a počáteční rychlostí proti_nebo jak ukazuje obrázek. Odpor vzduchu není brán v úvahu. Pohyb lze chápat jako dva nezávislé a simultánní pohyby: jeden vodorovný s konstantní rychlostí a druhý svislý působením gravitace..

x (t) = x_nebo +proti_vůl.t

y (t) = y_nebo +proti_Ahoj.t-1/2 g.t.^dva

Tyto rovnice jsou parametrické rovnice vypuštění střely. Jak je vysvětleno výše, mají parametr t, co je čas.

V pravém trojúhelníku na obrázku je vidět toto:

proti_vůl = v_nebo cos θ_i

proti_Ahoj = v_nebo sen θ_i

Dosazením těchto rovnic obsahujících úhel spuštění do parametrických rovnic získáte výsledky:

x (t) = x_nebo +proti_nebo cos θ_i.t

y (t) = y_nebo +proti_nebo. sen θ_i.t-1/2 g.t.^dva

Rovnice parabolické dráhy

Explicitní rovnice cesty se nachází řešením t z rovnice pro x (t) a dosazením v rovnici za y (t). Pro usnadnění algebraické práce lze předpokládat, že počátek (0,0) je umístěn v místě spuštění a tedy x_nebo = a_nebo = 0.

Toto je rovnice cesty dovnitř výslovným způsobem.

Kruhová cesta

Kruhová cesta je dána vztahem:

(x - x_nebo)^dva + (a - a_nebo)^dva = R.^dva

Tady x_nebo a a_nebo představují střed kruhu popsaného mobilem a R je jeho poloměr. P (x, y) je bod na cestě. Ze stínovaného pravoúhlého trojúhelníku (obrázek 3) je vidět, že:

x = R. cos θ

y = R. sin θ

Parametrem je v tomto případě úhel šípu θ, který se nazývá úhlové posunutí. V konkrétním případě, že úhlová rychlost ω (úhel zametaný za jednotku času) je konstantní, lze konstatovat, že:

θ = θ_nebo + ωt

Kde θ_nebo je počáteční úhlová poloha částice, která, pokud se vezme jako 0, se sníží na:

θ = ωt

V takovém případě se čas vrátí k parametrickým rovnicím jako:

x = R.cos ωt

y = R. sin ωt

Jednotkové vektory i Y j jsou velmi vhodné pro zápis poziční funkce objektu r (t). Označují směry na ose X a na ose Y resp. Podle jejích slov je poloha částice, která popisuje Uniform Circle Motion, následující:

r (t) = R.cos ωt i + R. sen ωt j

Vyřešená cvičení

Vyřešené cvičení 1

Dělo může vystřelit kulku rychlostí 200 m / s a ​​úhlem 40 ° vzhledem k vodorovné rovině. Pokud je hod na rovném povrchu a odpor vzduchu je zanedbán, najděte:

a) Rovnice cesty y (x) ...

b) Parametrické rovnice x (t) Y a (t).

c) Horizontální rozsah a doba, po kterou projektil vydrží ve vzduchu.

d) Výška, ve které je projektil, když x = 12 000 m

Řešení)

a) Pro nalezení trajektorie jsou nahrazeny hodnoty uvedené v rovnici y (x) předchozí části:

y (x) = tg 40º. X - 9.8 / (2 „400^dva. cos^dva40.) X^dva ⇒  y (x) = 0,8391 x - 0,0000522x^dva

Řešení b)

b) Bod spuštění je vybrán na počátku souřadného systému (0,0):

x (t) = x_nebo +proti_vůl.t = 400'cos 40º.t = 306,42. t.

y (t) = y_nebo +proti_Ahoj.t-1/2 g.t.^dva= 400 'sin 40º.t - 0,5 „9.8't^dva= 257,12 t - 4,9 t^dva

Řešení c)

c) Chcete-li zjistit čas, který střela vydrží ve vzduchu, udělejte to y (t) = 0, spuštění je provedeno na rovném povrchu:

0 = 257,12 t - 4,9 t^dva

t = 257,12 / 4,9 s = 52,473 s

Maximální horizontální dosah se zjistí dosazením této hodnoty do x (t):

X_max = 306,42'52,47 m = 16077,7 m

Další způsob, jak najít x_max přímo je vytvořením y = 0 v rovnici cesty:

0 = 0,8391 x_max - 0,0000522 x^dva_max

x = 0,8391 / 0,0000522 m = 16078,5 m

Existuje malý rozdíl kvůli zaokrouhlování desetinných míst.

Řešení d)

d) Chcete-li zjistit výšku, když x = 12000 m, je tato hodnota nahrazena přímo v rovnici cesty:

a (12000) = 0,8391„12000 - 0,0000522„12 000^dva m = 2552,4 m

Cvičení vyřešeno 2

Polohová funkce objektu je dána vztahem:

r (t) = 3 t i + (4 - 5 t^dva) j m

Nalézt:

a) Rovnice pro cestu. Co je to křivka?

b) Počáteční poloha a poloha, když t = 2 s.

c) Posun provedený po t = 2 s.

Řešení

a) Polohová funkce byla dána z hlediska jednotkových vektorů i Y j, které určují směr na osách X Y Y, Tím pádem:

x (t) = 3 t

a (t) = 4 -5 t^dva

Rovnice cesty y (x) je zúčtování t z x (t) a dosazení do y (t):

t = x / 3

y (x) = 4-5. (x / 3)^dva = 4 - 5x^dva/ 9 (podobenství)

b) Výchozí pozice je: r (2) = 4 j m ; pozice v t = 2 s to je r (2) = 6 i -16 j m

c) Zdvihový objem Dr je odčítání dvou polohových vektorů:

Δr = r (dva) - r (2) = 6 i -16 j- 4 j = 6 i - dvacet j m

Cvičení vyřešeno 3

Země má poloměr R = 6300 km a je známo, že doba rotace jejího pohybu kolem své osy je jeden den. Nalézt:

a) Rovnice trajektorie bodu na zemském povrchu a jeho polohová funkce.

b) Rychlost a zrychlení daného bodu.

Řešení)

a) Polohová funkce pro libovolný bod kruhové oběžné dráhy je:

r (t) = R.cos ωt i + R.sen ωt j

Máme poloměr Země R, ale ne úhlovou rychlost ω, ale lze ji vypočítat z periody, protože víme, že pro kruhový pohyb platí:

ω = 2π × frekvence = 2π / doba

Doba pohybu je: 1 den = 24 hodin = 1440 minut = 86 400 sekund, proto:

ω =  2π / 86400 s = 0,000023148 ​​s^-1

Nahrazení ve funkci polohy:

r (t) = R.cos ωt i + R. sen ωt j = 6300 (cos 0,000023148t i + sen 0,000023148t j) Km

Cesta v parametrické formě je:

x (t) = 6300. cos 0,000023148t

y (t) = 6300. hřích 0,000023148t

Řešení b)

b) Pro kruhový pohyb velikost lineární rychlosti proti bodu souvisí s úhlovou rychlostí w přes:

proti = ωR = 0,000023148 ​​s^-1'6300 km = 0,1458 km / s = 145,8 m / s

I když je to pohyb s konstantní rychlostí 145,8 m / s, existuje zrychlení, které směřuje ke středu kruhové oběžné dráhy a má na starosti udržování bodu v rotaci. Je to dostředivé zrychlení na_C, dána:

na_C = v^dva / R = (145,8 m / s)^dva / 6300 × 10³ m = 0,00337 m / s^dva.

Reference

1. Giancoli, D. Fyzika. (2006). Zásady s aplikacemi. 6^th Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fyzika: Pohled na svět. 6^ta Zkrácené vydání. Cengage Learning. 23 - 27.
3. Resnick, R. (1999). Fyzický. Svazek 1. Třetí vydání ve španělštině. Mexiko. Compañía Editorial Continental S.A. de C.V. 21-22.
4. Rex, A. (2011). Základy fyziky. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Univerzitní fyzika s moderní fyzikou. 14^th. Vydání Volume1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. 7^ma. Edice. Mexiko. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Základy fyziky. 9^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Fyzika 10. Pearsonovo vzdělávání. 133 - 149.