Vektorové charakteristiky a vlastnosti, prvky, typy, příklady

The vektor Jsou to matematické entity, které mají -pozitivní velikost, obvykle doprovázenou jednotkou měření, stejně jako směr a smysl. Takové charakteristiky jsou velmi vhodné k popisu fyzikálních veličin, jako jsou rychlost, síla, zrychlení a mnoho dalších..

S vektory je možné provádět operace, jako je sčítání, odčítání a produkty. Dělení není pro vektory definováno a pokud jde o součin, existují tři třídy, které si popíšeme později: bodový součin nebo bod, vektorový součin nebo kříž a součin skaláru vektorem.

K úplnému popisu vektoru je nutné uvést všechny jeho vlastnosti. Velikost nebo modul je číselná hodnota doprovázená jednotkou, zatímco směr a směr jsou stanoveny pomocí souřadného systému.

Podívejme se na příklad: řekněme, že letadlo letí z jednoho města do druhého rychlostí 850 km / h ve směru SV. Zde máme plně specifikovaný vektor, protože velikost je k dispozici: 850 km / h, zatímco směr a smysl jsou SV.

Vektory jsou obvykle graficky znázorněny orientovanými úsečkami, jejichž délka je úměrná velikosti.

I když je třeba určit směr a smysl, je nutná referenční čára, což je obvykle vodorovná osa, ačkoli jako referenční lze brát i sever, například rychlost letadla:

Obrázek ukazuje vektor rychlosti roviny, který je označen jako proti na tučně, odlišit ji od skalární veličiny, která vyžaduje pouze číselnou hodnotu a specifikovat nějakou jednotku.

Rejstřík článků

• 1 Prvky vektoru
  • 1.1 Obdélníkové složky vektoru
• 2 druhy
  • 2.1 Ortogonální jednotkové vektory
• 3 Součet vektorů
  • 3.1 Vlastnosti sčítání vektorů
• 4 Vektorové příklady
• 5 Další operace mezi vektory
  • 5.1 Produkt skaláru a vektoru
  • 5.2 Skalární součin nebo tečkový součin mezi vektory
  • 5.3 Křížový součin nebo křížový součin mezi vektory
• 6 Vyřešená cvičení
  • 6.1 - Cvičení 1
  • 6.2 - Cvičení 2
• 7 Reference

Prvky vektoru

Jak jsme již řekli, prvky vektoru jsou:

-Velikost nebo modul, někdy nazývané také absolutní hodnota nebo norma vektoru.

-Směr

-Smysl

V příkladu na obrázku 2 modul proti Je to 850 km / h. Modul je označen jako v bez tučného písma nebo jako |proti|, kde pruhy představují absolutní hodnotu.

Adresa proti je specifikován s ohledem na sever. V tomto případě je to 45 ° severovýchodně od východu (45 ° SV). Nakonec špička šipky informuje o směru proti.

V tomto příkladu byl počátek vektoru nakreslen současně s počátkem O souřadnicového systému, což je známé jako vázaný vektor. Na druhou stranu, pokud se počátek vektoru neshoduje s počátkem referenčního systému, říká se o volný vektor.

Je třeba poznamenat, že pro úplnou specifikaci vektoru je třeba poznamenat tyto tři prvky, jinak by popis vektoru byl neúplný.

Obdélníkové složky vektoru

Na obrázku máme zpět náš příkladový vektor proti, to je v rovině xy.

Je snadné vidět, že projekce v na osách souřadnic x a y určují pravý trojúhelník. Tyto projekce jsou proti_Y Y proti_X a nazývají se obdélníkové komponenty proti.

Jeden způsob, jak označit proti prostřednictvím svých obdélníkových komponent je takto: proti = X, proti_Y>. Tyto závorky se používají místo závorek pro zdůraznění skutečnosti, že se jedná o vektor, nikoli o bod, protože v tomto případě by se používaly závorky.

Pokud je vektor v trojrozměrném prostoru, je potřeba ještě jedna komponenta, takže:

proti = X, proti_Y, proti_z>

Známe-li obdélníkové složky, vypočítá se velikost vektoru, což odpovídá zjištění přepony pravého trojúhelníku, jehož nohy jsou proti_X Y proti_Y,. Z Pythagorovy věty vyplývá, že:

|proti|^dva = (v_X)^dva +  (proti_Y)^dva

Polární forma vektoru

Když je známa velikost vektoru |proti| a úhel θ, který tvoří s referenční osou, obecně s vodorovnou osou, je také zadán vektor. Vektor se pak říká, že je vyjádřen v polární formě.

Obdélníkové komponenty v tomto případě lze snadno vypočítat:

proti_X = |proti| .cos θ

proti_Y = |proti| .sen θ

Podle výše uvedeného jsou obdélníkové složky vektoru rychlosti proti letadla by bylo:

proti_X = 850. cos 45º km / h = 601,04 km / h

proti_Y = 850. hřích 45 ° km / h = 601,04 km / h

Typy

Existuje několik typů vektorů. Existují vektory rychlosti, polohy, posunutí, síly, elektrického pole, hybnosti a mnoho dalších. Jak jsme již řekli, ve fyzice existuje velké množství vektorových veličin.

Pokud jde o vektory, které mají určité vlastnosti, můžeme zmínit následující typy vektorů:

-Nula: jsou to vektory, jejichž velikost je 0 a které jsou označeny jako 0. Pamatujte, že tučné písmeno symbolizuje tři základní charakteristiky vektoru, zatímco normální písmeno představuje pouze modul.

Například na těle ve statické rovnováze musí být součet sil nulovým vektorem.

-Svobodný a svázaný: volné vektory jsou ty, jejichž počátečním a příchozím bodem je libovolná dvojice bodů v rovině nebo v prostoru, na rozdíl od spojených vektorů, jejichž počátek se shoduje s počátkem referenčního systému použitého k jejich popisu.

Dvojice nebo moment vytvořený dvojicí sil je dobrým příkladem volného vektoru, protože dvojice se nevztahuje na žádný konkrétní bod.

-Teamlenses: jsou to dva volné vektory, které mají stejné vlastnosti. Proto mají stejnou velikost, směr a smysl.

-Koplanární nebo koplanární: vektory, které patří do stejné roviny.

-Protiklady: vektory stejné velikosti a směru, ale opačné. Vektor naproti vektoru proti je vektor -proti a součet obou je nulový vektor: proti + (-proti) = 0.

-Souběžně: vektory, jejichž linie působení procházejí stejným bodem.

-Posuvníky: jsou vektory, jejichž aplikační bod může klouzat po určité linii.

-Kolineární: vektory, které jsou umístěny na stejném řádku.

-Unitary: vektory, jejichž modul je 1.

Ortogonální jednotkové vektory

Ve fyzice existuje velmi užitečný typ vektoru, který se nazývá ortogonální jednotkový vektor. Ortogonální jednotkový vektor má modul rovný 1 a jednotkami mohou být jakékoli, například jednotky rychlosti, polohy, síly nebo jiné.

Existuje sada speciálních vektorů, které pomáhají snadno reprezentovat další vektory a provádět na nich operace: jsou to ortogonální jednotkové vektory i, j Y k, jednotné a na sebe kolmé.

Ve dvou rozměrech jsou tyto vektory směrovány podél kladného směru obou os X od osy Y. A ve třech rozměrech je ve směru osy přidán jednotkový vektor z pozitivní. Jsou zastoupeny takto:

i = <1, 0,0>

j = < 0,1,0>

k = <0,0,1>

Vektor může být reprezentován jednotkovými vektory i, j Y k jak následuje:

proti = v_X i + proti_Y j + proti_z k

Například vektor rychlosti proti z výše uvedených příkladů lze psát jako:

proti = 601,04 i + 601,04 j km / h

Komponenta v k není nutné, protože tento vektor je v rovině.

Vektorové přidání

Součet vektorů se objevuje velmi často v různých situacích, například když chcete najít výslednou sílu na objekt, který je ovlivněn různými silami. Nejprve předpokládejme, že máme dva volné vektory nebo Y proti v letadle, jak je znázorněno na následujícím obrázku vlevo:

Okamžitě se opatrně přesune na vektor proti, beze změny jeho velikosti, směru nebo smyslu, aby se jeho počátek shodoval s koncem roku nebo.

Volá se vektor součtu w a kreslí se od začátku do konce v proti, podle správného obrázku. Je důležité si uvědomit, že velikost vektoru w není nutně součet velikostí proti Y nebo.

Pokud o tom pečlivě přemýšlíte, jediný okamžik, kdy velikost výsledného vektoru je součtem velikostí sčítání, je, když jsou obě sčítání ve stejném směru a mají stejný smysl..

A co se stane, když vektory nejsou volné? Je také velmi snadné je přidat. Způsob, jak to udělat, je přidání komponenty do komponenty nebo analytická metoda.

Jako příklad uvažujme vektory na následujícím obrázku, první věcí je vyjádřit je jedním z dříve vysvětlených kartézských způsobů:

proti = <5,1>

nebo = <2,3>

Chcete-li dostat komponentu dovnitř X součtu vektoru w, jsou přidány příslušné komponenty X z proti Y nebo: w_X = 5 + 2 = 7. A dostat w_Y postupuje se obdobně: w_Y = 1 + 3. Proto:

nebo = <7,4>

Vlastnosti sčítání vektorů

-Součet dvou nebo více vektorů vede k jinému vektoru.

-Je komutativní, pořadí sčítání nemění součet takovým způsobem, že:

nebo + proti = proti + nebo

-Neutrálním prvkem součtu vektorů je nulový vektor: proti + 0 = proti

-Odečtení dvou vektorů je definováno jako součet opaku: v - u = proti + (-nebo)

Vektorové příklady

Jak jsme řekli, ve fyzice existuje řada vektorových veličin. Mezi nejznámější patří:

-Pozice

-Přemístění

-Průměrná rychlost a okamžitá rychlost

-Akcelerace

-Platnost

-Množství pohybu

-Točivý moment nebo moment síly

-Impuls

-elektrické pole

-Magnetické pole

-Magnetický moment

Na druhou stranu to nejsou vektory, ale skaláry:

-Počasí

-Hmotnost

-Teplota

-Objem

-Hustota

-Mechanické práce

-Energie

-Horký

-Napájení

-Napětí

-Elektrický proud

Další operace mezi vektory

Kromě sčítání a odčítání vektorů existují mezi vektory další tři velmi důležité operace, protože způsobují vznik nových velmi důležitých fyzikálních veličin:

-Produkt skaláru a vektoru.

-Tečkový produkt nebo tečkový produkt mezi vektory

-A křížový nebo vektorový produkt mezi dvěma vektory.

Produkt skaláru a vektoru

Zvažte Newtonův druhý zákon, který říká, že síla F a zrychlení na jsou proporcionální. Konstanta proporcionality je hmotnost m objektu, proto:

F = m.na

Hmotnost je skalární; síla a zrychlení jsou vektory. Protože síla se získá vynásobením hmotnosti zrychlením, je výsledkem součinu skalárního a vektorového.

Výsledkem tohoto typu produktu je vektor. Zde je další příklad: množství pohybu. Být P vektor hybnosti, proti vektor rychlosti a jako vždy, m je hmotnost:

P = m.proti

Tečkovaný produkt nebo tečkovaný produkt mezi vektory

Umístili jsme mechanickou práci na seznam veličin, které nejsou vektory. Práce ve fyzice je však výsledkem operace mezi vektory zvanou skalární součin, vnitřní součin nebo tečkový součin..

Nechť vektory jsou proti Y nebo, tečkový součin nebo skalární mezi nimi je definován jako:

proti∙nebo = |proti| ∙ |nebo | .cos θ

Kde θ je úhel mezi nimi. Z zobrazené rovnice okamžitě vyplývá, že výsledek tečkového součinu je skalární a také to, že pokud jsou oba vektory kolmé, jejich skalární součin je 0.

Zpět k mechanické práci Ž, toto je skalární součin mezi vektorem síly F a vektor posunutí ℓ.

W = F∙ℓ                  

Pokud jsou vektory dostupné z hlediska jejich komponent, je také velmi snadné vypočítat bodový součin. Ano proti = X, proti_Y, proti_z > Y nebo = X, nebo_Y, nebo_z >, bodový produkt mezi těmito dvěma je:

proti∙nebo = proti_X nebo_X + proti_Y nebo_Y + proti_z nebo_z

Produkt tečky mezi vektory je komutativní, proto:

proti∙nebo = nebo∙proti

Křížový produkt nebo vektorový produkt mezi vektory

Ano proti a u jsou naše dva příkladové vektory, vektorový produkt je definován jako:

proti X nebo = w

Okamžitě z toho vyplývá, že výsledkem křížového produktu je vektor, jehož modul je definován jako:

|proti X u | = | v | . | u |. sen θ

Kde θ je úhel mezi vektory.

Křížový produkt proto není komutativní proti X u ≠ u X proti. Ve skutečnosti proti X u = - (u X proti).

Pokud jsou dva příklady vektorů vyjádřeny jednotkovými vektory, je výpočet vektorového produktu snazší:

proti = v_X i + proti_Y j + proti_z k

nebo = u_X i + nebo_Y j + nebo_z k

Křížové produkty mezi jednotkovými vektory

Křížový produkt mezi identickými jednotkovými vektory je nula, protože úhel mezi nimi je 0 °. Ale mezi různými jednotkovými vektory je úhel mezi nimi 90 ° a sin 90 ° = 1.

Následující diagram pomáhá tyto produkty najít. Ve směru šipky má kladný směr a v opačném směru má záporný směr:

i X j = k, j X k = i; k X i = j; j X i = -k; k X j = -i; i X k = -j

Použitím distribuční vlastnosti, která je stále platná pro produkty mezi vektory plus vlastnosti jednotkových vektorů, máme:

proti X nebo = (v_X i + proti_Y j + proti_z k) x (u.)_X i + nebo_Y j + nebo_z k) =  

= (v_Ynebo_z - v_znebo_Y )i + (proti_znebo_X - v_Xnebo_z )j + (proti_Xnebo_Y - v_Ynebo_X )k

Vyřešená cvičení

- Cvičení 1

Vzhledem k vektorům:

proti = -5 i + 4j + 1 k

nebo = 2 i -3 j + 7k

Co by měl být vektor w takže součet proti + nebo + w ukázalo se 6 i +8 j -10k?

Řešení

-5 i + 4j + 1 k

dva i -3 j + 7k

 w_X i + w_Y j + w_z k  +

--

6i + 8 j -10 k

Musí být tedy splněno, že:

-5 +2 + t_X = 6 → t_X = 9

4-3 + t_Y = 8 → t_Y = 7

1 + 7 + t_z = -10 → ž_z = -18

Odpověď je: w = 9 i +7 j - 18k

- Cvičení 2

Jaký je úhel mezi vektory proti Y nebo z cvičení 1?

Řešení

Použijeme bodový produkt. Z definice máme:

cos θ = proti∙nebo / |proti| ∙ |nebo|

proti∙nebo= -10-12 + 7 = -15

|proti| = √ (-5)^dva +4^dva +1^dva= √42 = 6,48

|nebo| = √2^dva +(-3)^dva +7^dva= √62 = 7,87

Nahrazení těchto hodnot:

cos θ = -15 / 6,48 x 7,87 = -0,2941 → θ = 107,1 °

Reference

1. Figueroa, D. (2005). Série: Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. Kinematika. Upravil Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Principy s aplikacemi. 6.. Hala Ed Prentice.
3. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Univerzitní fyzika s moderní fyzikou. 14. Vydání Volume 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fyzika pro vědu a inženýrství. Svazek 1. 7. Ed. Cengage Learning.