The axiomy pravděpodobnost jsou to matematické návrhy odkazující na teorii pravděpodobnosti, které si nezaslouží důkaz. Axiomy založil v roce 1933 ruský matematik Andrej Kolmogorov (1903-1987) ve své práci Základy teorie pravděpodobnosti a položil základy pro matematické studium pravděpodobnosti.
Při provádění určitého náhodného experimentu ξ je ukázkový prostor E souborem všech možných výsledků experimentu, také nazývaných Události. Jakákoli událost je označena jako A a P (A) je pravděpodobnost jejího výskytu. Poté Kolmogorov zjistil, že:
-Axiom 1 (ne negativita): pravděpodobnost výskytu jakékoli události A je vždy kladná nebo nulová, P (A) ≥0. Když je pravděpodobnost události 0, je volána nemožná událost.
-Axiom 2 (jistota): kdykoli nějaká událost patřící k E, její pravděpodobnost výskytu je 1, což můžeme vyjádřit jako P (E) = 1. To je to, co je známé jako jistá událost, protože při provádění experimentu je se vší jistotou výsledek.
-Axiom 3 (doplněk): v případě dvou nebo více nekompatibilních událostí po dvou, nazývaných A1, NAdva, NA3…, Pravděpodobnost, že dojde k události A.1 plus Adva plus A3 a tak dále, je to součet pravděpodobností, že se každá stane zvlášť.
To je vyjádřeno jako: P (A.1 U Adva U A3 U…) = P (A1) + P (A.dva) + P (A.3) + ...
Rejstřík článků
Axiomy pravděpodobnosti jsou široce používány v mnoha aplikacích. Například:
Připínáček nebo připínáček je vyhozen do vzduchu, a když spadne na podlahu, je zde možnost přistání s hrotem nahoru (U) nebo s hrotem dolů (D) (nebudeme uvažovat o dalších možnostech). Ukázkový prostor tohoto experimentu se skládá z těchto událostí, pak E = U, D.
Použitím axiomů máme:
P (E) = 1 (Axiom 2)
Ale P (E) = P (U) + P (D) (Axiom 3), protože tyto události jsou vzájemně nekompatibilní nebo nesouvislé. Připínáček neklesá špičkou současně nahoru nebo dolů, je to jeden nebo druhý, ale ne obojí, protože nejsou brány v úvahu jiné možnosti. Pak:
P (U) + P (D) = 1
P (U) = 1 - P (D)
Ať už je stejně pravděpodobné, že přistanete nahoru nebo dolů, P (U) = P (D) = ½ (Axiom 1). Může se však stát, že konstrukce a design připínáčku pravděpodobně spadne tak či onak. Může to být například tak P (U) = ¾ zatímco P (D) = ¼ (Axiom 1).
Všimněte si, že v obou případech součet pravděpodobností dává 1. Axiomy však neindikují, jak přiřadit pravděpodobnosti, alespoň ne úplně. Potvrzují však, že se jedná o čísla mezi 0 a 1, a že jako v tomto případě je součet všech 1.
Axiomy pravděpodobnosti nejsou metodou přiřazování hodnoty pravděpodobnosti. K tomu existují tři možnosti, které jsou kompatibilní s axiomy:
Každá událost má přiřazenu stejnou pravděpodobnost, že se stane, pak je pravděpodobnost výskytu definována jako:
P (A) = počet případů příznivých pro událost A / počet možných případů
Jaká je například pravděpodobnost tažení esa z balíčku francouzských karet? Balíček má 52 karet, z každé barvy 13 a jsou zde 4 barvy. Každá barva má 1 esa, takže celkem existují 4 esa:
P (jako) = 4/52 = 1/13
Laplaceovo pravidlo je omezeno na konečné vzorové prostory, kde je každá událost stejně pravděpodobná.
Zde musí být experiment opakovatelný, protože metoda je založena na provádění velkého počtu opakování..
Udělejme i opakování experimentu ξ, z nichž zjistíme, že n je počet výskytů určité události A, pravděpodobnost, že k této události dojde, je:
P (A) = limi → ∞ (ani)
Kde n / i je relativní frekvence události.
Definování P (A) tímto způsobem uspokojuje Kolmogorovovy axiomy, ale má tu nevýhodu, že je třeba provést mnoho testů, aby byla pravděpodobnost vhodná.
Osoba nebo skupina lidí může souhlasit s přiřazením pravděpodobnosti události na základě vlastního úsudku. Tato metoda má tu nevýhodu, že různí lidé mohou stejné události přiřadit různé pravděpodobnosti..
V experimentu současného házení 3 poctivých mincí získejte pravděpodobnosti popsaných událostí:
a) 2 hlavy a ocas.
b) 1 hlava a dva ocasy
c) 3 kříže.
d) Nejméně 1 obličej.
Hlavy jsou označeny C a ocasy X. Existuje ale několik způsobů, jak získat dvě hlavy a ocas. Například první dvě mince mohou přistát hlavy a třetí mohou přistát ocasy. Nebo první může spadnout hlavy, druhý ocasy a třetí hlavy. A konečně první mohou být ocasy a zbývající hlavy.
Pro zodpovězení otázek je nutné znát všechny možnosti, které jsou popsány v nástroji zvaném stromový diagram nebo strom pravděpodobností:
Pravděpodobnost, že nějaká mince vyjde z hlavy, je ½, totéž platí pro ocasy, protože mince je upřímná. V pravém sloupci jsou uvedeny všechny možnosti, které má los, tj. Ukázkový prostor.
Z ukázkového prostoru jsou vybrány kombinace, které reagují na požadovanou událost, protože pořadí, ve kterém se tváře objevují, není důležité. Existují tři příznivé události: CCX, CXC a XCC. Pravděpodobnost výskytu každé události je:
P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8
Totéž se děje u událostí CXC a XCC, každá z nich má 1/8 pravděpodobnost výskytu. Pravděpodobnost získání přesně 2 hlav je tedy součtem pravděpodobností všech příznivých událostí:
P (2stranný) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375
Nalezení pravděpodobnosti, že nastanou přesně dva křížení, je problém analogický s předchozím, existují také tři příznivé události převzaté z ukázkového prostoru: CXX, XCX a XXC. Proto:
P (2 kříže) = 3/8 = 0,375
Intuitivně víme, že pravděpodobnost získání 3 ocasů (nebo 3 hlav) je nižší. V tomto případě je hledaná událost XXX na konci pravého sloupce, jehož pravděpodobnost je:
P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.
Je požadováno získat alespoň 1 obličej, to znamená, že mohou vyjít 3 obličeje, 2 obličeje nebo 1 obličej. Jedinou s tím neslučitelnou událostí je událost, ve které vyjdou 3 ocasy, jejichž pravděpodobnost je 0,125. Hledaná pravděpodobnost je tedy:
P (alespoň 1 hlava) = 1 - 0,125 = 0,875.
Zatím žádné komentáře