Elastické rázy v jedné dimenzi, speciální případy, cvičení

The elastické rázy nebo elastické srážky se skládají z krátkých, ale intenzivních interakcí mezi objekty, při nichž se zachovává hybnost i kinetická energie. Havárie jsou v přírodě velmi časté: od subatomárních částic až po galaxie, kulečníkové koule a nárazníková auta v zábavních parcích - všechny jsou objekty schopné srážky.

Během kolize nebo kolize jsou interakční síly mezi objekty velmi silné, mnohem více než ty, které mohou působit externě. Tímto způsobem lze konstatovat, že během srážky tvoří částice izolovaný systém.

V tomto případě platí, že:

P_nebo = P_F

Množství pohybu P_nebo před srážkou je stejné jako po srážce. To platí pro jakýkoli typ kolize, elastické i nepružné..

Nyní zvažte následující: během kolize se objekty podrobí určité deformaci. Když je ráz pružný, objekty rychle získají svůj původní tvar.

Rejstřík článků

• 1 Zachování kinetické energie
• 2 pružné rázy v jedné dimenzi
  • 2.1 - Formuláře pro elastické srážky
• 3 Zvláštní případy při elastických srážkách
  • 3.1 Dvě stejné hmotnosti
  • 3.2 Dvě identické masy, z nichž jedna byla zpočátku v klidu
  • 3.3 Dvě různé hmoty, z nichž jedna byla nejprve v klidu
• 4 Koeficient restituce nebo Huygens-Newtonovo pravidlo
• 5 Cvičení vyřešena
  • 5.1 - Vyřešené cvičení 1
  • 5.2 - Vyřešené cvičení 2
  • 5.3 - Vyřešené cvičení 3
  • 5.4 - Vyřešené cvičení 4
• 6 Reference

Úspora kinetické energie

Normálně se během srážky část energie předmětů vynakládá na teplo, deformace, zvuk a někdy dokonce na produkci světla. Kinetická energie systému po srážce je tedy menší než původní kinetická energie.

Když je kinetická energie K zachována, pak:

K._nebo = K._F

Což znamená, že síly působící během srážky jsou konzervativní. Během srážky se kinetická energie krátce přemění na potenciální energii a poté zpět na kinetickou energii. Příslušné kinetické energie se liší, ale součet zůstává konstantní.

Dokonale elastické srážky jsou vzácné, i když kulečníkové koule jsou docela dobrou aproximací, stejně jako srážky, ke kterým dochází mezi molekulami ideálního plynu..

Elastické rázy v jedné dimenzi

Podívejme se na kolizi dvou částic v jedné dimenzi; to znamená, že interagující částice se pohybují, řekněme, podél osy x. Předpokládejme, že mají masy m₁ Y m_dva. Počáteční rychlosti každého z nich jsou nebo₁ Y nebo_dva resp. Konečné rychlosti jsou proti₁ Y proti_dva.

Můžeme upustit od vektorového zápisu, protože pohyb se provádí podél osy x, avšak značky (-) a (+) označují směr pohybu. Vlevo je záporné a vpravo pozitivní, podle konvence.

-Vzorce pro elastické srážky

Pro množství pohybu

m₁nebo₁ + m_dvanebo_dva = m₁proti₁ + m_dvaproti_dva

Pro kinetickou energii

½ m₁nebo^dva₁ + ½ m_dvanebo^dva_dva = ½ m₁proti^dva₁ +  ½ m_dvaproti^dva_dva

Za předpokladu, že jsou známy hmotnosti a počáteční rychlosti, lze rovnice přeskupit a najít konečné rychlosti.

Problém je v tom, že je v zásadě nutné provést trochu zdlouhavou algebru, protože rovnice pro kinetickou energii obsahují druhou mocninu rychlostí, což činí výpočet trochu těžkopádným. Ideální by bylo najít výrazy, které je neobsahují.

První věcí je obejít se bez faktoru ½ a uspořádat obě rovnice tak, aby se objevilo záporné znaménko a bylo možné započítat masy:

m₁nebo₁ - m₁proti₁ = M._dvaproti_dva - m_dvanebo_dva

m₁nebo^dva₁ - m₁proti^dva₁  = + M._dvaproti^dva_dva - m_dvanebo^dva_dva

Vyjádřeno tímto způsobem:

m₁(nebo₁ - proti₁ ) = m_dva(proti_dva - nebo_dva)

m₁(nebo^dva₁ - proti^dva₁ ) = m_dva (proti^dva_dva - nebo^dva_dva)

Zjednodušení pro eliminaci čtverců rychlostí

Nyní musíme použít součin pozoruhodného součtu jeho rozdílem ve druhé rovnici, pomocí které získáme výraz, který neobsahuje druhé mocniny, jak jsme původně chtěli:

m₁(nebo₁ - proti₁ ) = m_dva(proti_dva - nebo_dva)

m₁(nebo₁ - proti₁ ) (nebo₁ + proti₁ ) = m_dva (proti_dva - nebo_dva) (v_dva + nebo_dva)

Dalším krokem je dosazení první rovnice do druhé:

m_dva(proti_dva - nebo_dva) (nebo₁ + proti₁ ) = m_dva (proti_dva - nebo_dva) (v_dva + nebo_dva)

A když se termín opakuje m_dva(proti_dva - nebo_dva) na obou stranách rovnosti je uvedený termín zrušen a vypadá takto:

(nebo₁ + proti₁) = (v_dva + nebo_dva)

Nebo ještě lépe:

nebo₁ - nebo_dva= v_dva -  proti₁

Konečné rychlosti v₁ a V_dva částic

Nyní máte dvě lineární rovnice, se kterými se snáze pracuje. Vložíme je zpět pod sebe:

m₁nebo₁ + m_dvanebo_dva = m₁proti₁ + m_dvaproti_dva

nebo₁ - nebo_dva= v_dva -  proti₁

Vynásobení druhé rovnice m₁ a přidání výrazu k výrazu je:

m₁nebo₁ + m_dvanebo_dva = m₁proti₁ + m_dvaproti_dva

m₁nebo₁ - m₁nebo_dva= m₁proti_dva - m₁ proti₁

-

2 m₁nebo₁ + (m_dva - m₁) nebo_dva = (m_dva + m₁) v_dva

A již je možné to vyčistit proti_dva. Například:

Zvláštní případy při elastických srážkách

Nyní, když jsou k dispozici rovnice pro konečné rychlosti obou částic, je čas analyzovat některé speciální situace.

Dvě stejné masy

Pak m₁ = m_dva = m Y:

proti₁ = u_dva

proti_dva = u₁

Částice si po srážce jednoduše vymění své rychlosti.

Dvě stejné masy, z nichž jedna byla zpočátku v klidu

Znovu  m₁ = m_dva = m a za předpokladu, že nebo₁ = 0:

proti₁ = u_dva

proti_dva = 0

Po srážce získá částice, která byla v klidu, stejnou rychlost jako částice, která se pohybovala, a to se zase zastaví.

Dvě různé masy, jedna z nich zpočátku v klidu

V tomto případě předpokládejme, že nebo₁ = 0, ale masy jsou různé:

Co když m₁ je mnohem větší než m_dva?

Stává se, že m₁ je stále v klidu a m_dva vrátí se tak rychle, jak zasáhne.

Koeficient restituce nebo Huygens-Newtonovo pravidlo

Dříve byl pro dva objekty v elastické kolizi odvozen následující vztah mezi rychlostmi: nebo₁ - nebo_dva = v_dva -  proti₁. Tyto rozdíly jsou relativní rychlosti před a po srážce. Obecně platí, že pro kolizi platí, že:

nebo₁ - nebo_dva = - (v₁ -  proti_dva)

Koncept relativní rychlosti se nejlépe ocení, když si čtenář představí, že je na jedné z částic a z této polohy sleduje rychlost, jakou se pohybuje druhá částice. Výše uvedená rovnice je přepsána takto:

Vyřešená cvičení

-Vyřešené cvičení 1

Kulečníková koule se pohybuje doleva rychlostí 30 cm / s a ​​čelně se srazí s jinou identickou koulí pohybující se doprava rychlostí 20 cm / s. Obě koule mají stejnou hmotnost a srážka je dokonale elastická. Zjištění rychlosti každé koule po nárazu.

Řešení

nebo₁ = -30 cm / s

nebo_dva = +20 cm / s

Jde o speciální případ, kdy se v jedné dimenzi elasticky srazí dvě identické hmoty, a proto dojde k výměně rychlostí.

proti₁ = +20 cm / s

proti_dva = -30 cm / s

-Cvičení vyřešeno 2

Koeficient restituce míče, který se odrazí od země, se rovná 0,82. Pokud spadne z klidu, jaký zlomek své původní výšky dosáhne míč po jednom odrazu? A po 3 odrazech?

Řešení

Půda může být objektem 1 v koeficientu restituční rovnice. A vždy zůstává v klidu, takže:

S touto rychlostí se odrazí:

Znaménko + označuje, že se jedná o vzestupnou rychlost. A podle toho míč dosáhne maximální výšky:

Nyní se vrací na zem znovu rychlostí stejné velikosti, ale opačného znaménka:

Tím je dosaženo maximální výšky:

Vraťte se na zem pomocí:

Postupné odskoky

Pokaždé, když se míč odrazí a zvedne, vynásobte rychlost znovu o 0,82:

Teď h₃ je asi 30% h_nebo. Jaká by byla výška do 6. odrazu, aniž by bylo nutné provádět takové podrobné výpočty jako ty předchozí?

Bych h₆ = 0,82¹² h_nebo = 0,092 h_nebo nebo jen 9% z h_nebo.

-Cvičení vyřešeno 3

Blok 300 g se pohybuje na sever rychlostí 50 cm / s a ​​koliduje s blokem 200 g na jih rychlostí 100 cm / s. Předpokládejme, že šok je dokonale elastický. Najděte rychlosti po nárazu.

Data

m₁ = 300 g; nebo₁ = + 50 cm / s

m_dva = 200 g; nebo_dva = -100 cm / s

-Cvičení vyřešeno 4

Uvolní se hmotnost m₁ = 4 kg od vyznačeného bodu na trati bez tření, dokud nenarazí na m_dva = 10 kg v klidu. Jak vysoko stoupá?₁ po srážce?

Řešení

Protože zde není žádné tření, mechanická energie se zachovává, aby se zjistila rychlost nebo₁ s čím m₁ dopady  m_dva. Zpočátku je kinetická energie 0, protože m₁ část odpočinku. Když se pohybuje na vodorovném povrchu, nemá žádnou výšku, takže potenciální energie je 0.

mgh = ½ mu₁ ^dva

nebo_dva = 0

Nyní rychlost m₁ po srážce:

Záporné znaménko znamená, že bylo vráceno. S touto rychlostí stoupá a mechanická energie je znovu uchována k nalezení h ', výška, do které můžete po srážce vystoupit:

½ mv₁^dva = mgh '

Pamatujte, že se nevrací do výchozího bodu ve výšce 8 m. Nemá dostatek energie, protože hmota dala část své kinetické energie m_1.

Reference

1. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Principy s aplikacemi. 6^th. Sál Eda Prentice. 175-181
2. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Základy fyziky. 9^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Fyzika pro vědu a technologii. 5. vyd. Svazek 1. Redakční reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fyzika: koncepty a aplikace. 7. vydání. MacGraw Hill. 185-195