The Poissonův poměr je to bezrozměrné množství, charakteristické pro každý materiál. Je to indikace deformace kusu materiálu před použitím určitých sil.
Když kus materiálu, který je vystaven napětí nebo tlaku, prochází deformací, je podíl mezi příčnou deformací a podélnou deformací přesně Poissonův poměr.
Například gumový válec, který je na svých koncích namáhán, se táhne v podélném směru, ale příčně se zužuje. Obrázek 1 ukazuje lištu, jejíž původní rozměry jsou: délka L a průměr D.
Tyč je na svých koncích vystavena napětí T a v důsledku tohoto napětí prochází napnutím, takže nová délka je L '> L. Ale když je napnutá, její průměr se také zužuje na novou hodnotu: D' < D.
Kvocient mezi roztažením (kladným) a zúžením (záporným) vynásobeným (-1) je kladné číslo mezi 0 a 0,5. Toto číslo je takzvaný Poissonův poměr ν (řecké písmeno nu).
Rejstřík článků
Pro výpočet Poissonova poměru je nutné určit podélné a příčné přetvoření.
Podélné přetvoření εL je úsek dělený původní délkou:
εL = (L '- L) / L
Podobně příčné přetvoření εT je radiální kužel dělený původním průměrem:
εT = (D '- D) / D
Proto se Poissonův poměr počítá pomocí následujícího vzorce:
ν = - εT / εL
Poissonův poměr ν souvisí s modulem A pružnost (nebo Youngův modul) a s modulem tuhosti G, pomocí následujícího vzorce:
ν = E / (2G) - 1
Tyč z určitého plastového materiálu má délku 150 mm a kruhový průřez o průměru 20 mm. Při působení tlakové síly F 612,25 kg-f je pozorováno zkrácení o 14 mm a současně zvětšení o 0,85 mm v průměru tyče.
Vypočítat:
a) Podélné namáhání.
b) Příčné napětí.
c) Poissonův poměr tohoto materiálu.
d) Youngův modul pružnosti odpovídající materiálu.
e) Modul tuhosti pro tento plast.
Připomeňme, že podélné přetvoření εL je úsek dělený původní délkou:
εL = (L '- L) / L
εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933
Všimněte si, že podélné přetvoření je bezrozměrné a v tomto případě bylo negativní, protože došlo ke snížení jeho podélného rozměru.
Podobně příčné přetvoření εT je radiální zúžení dělené původním průměrem:
εT = (D '- D) / D
εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425
Příčné přetvoření bylo pozitivní, protože došlo ke zvětšení průměru tyče.
Pro výpočet Poissonova poměru si musíme pamatovat, že je definován jako zápor kvocientu mezi příčnou deformací a podélnou deformací:
ν = - εT / εL
ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554
Je třeba si uvědomit, že Poissonův poměr je kladné bezrozměrné číslo a pro většinu materiálů je mezi 0 a 0,5.
Youngův modul pružnosti, označený písmenem E, je konstanta proporcionality podle Hookeova zákona. E, normální napětí σL souvisí s přetvořením εL, a to následovně:
σL = E εL
Normálové napětí je definováno jako podíl mezi normálovou silou (v tomto případě rovnoběžnou s osou prutu) a plochou průřezu:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
V tomto cvičení je síla F 612,25 kg-f, která musí být převedena na newton, což je jednotka síly SI:
F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN
Průřez oblasti A je:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2
Nakonec je normální napětí působící na tyč:
σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa
Pro výpočet Youngova modulu pružnosti řešíme pro E z Hookova zákona σL = E εL:
E = σL / εL = 19 098 593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa
Modul tuhosti G souvisí s Youngovým modulem E a Poissonovým poměrem ν podle tohoto vzorce:
E / (2 G) = 1 + ν
Odtud můžete vyřešit pro G:
G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa
K dispozici je měděný kabel o průměru 4 mm a délce 1 m. S vědomím, že Youngův modul mědi je 110 000 MPa a že jeho Poissonův poměr je 0,34, odhadněte roztažení a zúžení průměru, které drát prochází, když je na něj zavěšena hmotnost 100 kg-f..
Nejprve je nutné vypočítat normální tahové napětí, které váha působí na drát, podle tohoto vzorce:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
Síla F je 980 N a plocha průřezu je:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2
Pak je tahové napětí:
σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77 986 000 Pa
Youngův modul pružnosti, označený písmenem E, je konstanta proporcionality podle Hookeova zákona, která spojuje normální napětí σL s přetvořením εL:
σL = E εL
Odtud lze vyřešit podélné přetvoření měděného drátu:
εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4
Na druhou stranu, aby bylo možné znát příčné přetvoření, použije se Poissonův poměr:
ν = - εT / εL
Konečně máme, že příčné napětí je:
εT = -ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4
Nakonec, aby bylo možné znát absolutní roztažení kabelu, je třeba použít následující vztah:
ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm
To znamená, že s touto hmotností se kabel stěží natáhl o 0,709 milimetru.
Pro získání absolutního zmenšení průměru použijeme následující vzorec:
ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0 000964 milimetrů.
Toto zúžení průměru je tak malé, že je obtížné ho vidět pouhým okem, dokonce i jeho měření vyžaduje vysoce přesný přístroj..
Zatím žádné komentáře