The Euklidovská vzdálenost je kladné číslo, které označuje oddělení mezi dvěma body v prostoru, kde jsou splněny axiomy a věty Euklidovy geometrie.
Vzdálenost mezi dvěma body A a B v euklidovském prostoru je délka vektoru AB patřící k jediné linii, která prochází těmito body.
Prostor, který vnímáme a kde se pohybujeme my lidé, je trojrozměrný prostor (3-D), kde jsou splněny axiomy a věty Euklidovy geometrie. V tomto prostoru jsou obsaženy dvourozměrné podprostory (roviny) a jednorozměrné podprostory (čáry)..
Euklidovské prostory mohou být jednorozměrné (1-D), dvourozměrné (2-D), trojrozměrné (3-D) nebo n-rozměrné (n-D).
Body v jednorozměrném prostoru X jsou ty, které patří k orientované přímce (OX), směr od O do X je kladný směr. K vyhledání bodů na této přímce se používá kartézský systém, který spočívá v přiřazení čísla každému bodu přímky.
Rejstřík článků
Euklidovská vzdálenost d (A, B) mezi body A a B, která se nachází na přímce, je definována jako druhá odmocnina druhé odmocniny rozdílů v jejich souřadnicích X:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Tato definice zaručuje, že: vzdálenost mezi dvěma body je vždy kladná veličina. A že vzdálenost mezi A a B se rovná vzdálenosti mezi B a A.
Obrázek 1 ukazuje jednorozměrný euklidovský prostor tvořený přímkou (OX) a několika body na uvedené přímce. Každý bod má souřadnici:
Bod A má souřadnice XA = 2,5, souřadnice bodu B XB = 4 a souřadnice C bodu XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Dvourozměrný euklidovský prostor je rovina. Body euklidovské roviny splňují axiomy Euklidovy geometrie, například:
- Jedna čára prochází dvěma body.
- Tři body v rovině tvoří trojúhelník, jehož vnitřní úhly vždy dosahují až 180 °.
- V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec přepony rovná součtu čtverců jeho ramen.
Ve dvou rozměrech má bod souřadnice X a Y..
Například bod P má souřadnice (XP, YP) a souřadnice bodu Q (XQ, YQ).
Euklidovská vzdálenost mezi body P a Q je definována následujícím vzorcem:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Je třeba poznamenat, že tento vzorec je ekvivalentní Pythagorově větě, jak je znázorněno na obrázku 2.
Ne všechny dvourozměrné prostory odpovídají euklidovské geometrii. Povrch koule je dvourozměrný prostor.
Úhly trojúhelníku na sférické ploše nepřesahují 180 ° a tím není Pythagorova věta splněna, proto sférická plocha nesplňuje Euklidovy axiomy.
Koncept souřadnic lze rozšířit na větší rozměry:
- Ve 2-D bodě P má souřadnice (XP, YP)
- Ve 3D má bod Q souřadnice (XQ, YQ, ZQ)
- Ve 4-D bodě R bude mít souřadnice (XR, YR, ZR, WR)
- V n-D bude mít bod P souřadnice (P1, P2, P3,…, Pn)
Vzdálenost mezi dvěma body P a Q v n-dimenzionálním euklidovském prostoru se vypočítá podle následujícího vzorce:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 +… + (Qn - Pn) ^ 2)
Lokus všech bodů Q v n-dimenzionálním euklidovském prostoru ve stejné vzdálenosti od jiného pevného bodu P (střed) tvoří n-dimenzionální hypersféru.
Následující text ukazuje, jak se počítá vzdálenost mezi dvěma body umístěnými v euklidovském trojrozměrném prostoru.
Předpokládejme, že bod A kartézských souřadnic x, y, z daný A :( 2, 3, 1) a bod B souřadnic B :( -3, 2, 2).
Chceme určit vzdálenost mezi těmito body, pro které se používá obecný vztah:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196
Existují dva body P a Q. Bod P kartézských souřadnic x, y, z daný P :( 2, 3, 1) a bod Q souřadnic Q :( -3, 2, 1).
Je požádáno o nalezení souřadnic středového bodu M segmentu [PQ], který spojuje dva body.
Řešení:
Předpokládá se, že neznámý bod M má souřadnice (X, Y, Z).
Protože M je středem [PQ], musí platit, že d (P, M) = d (Q, M), tak d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 musí být také pravdivé :
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Stejně jako v tomto případě je třetí člen stejný u obou členů, předchozí výraz se zjednoduší na:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Pak máme rovnici se dvěma neznámými X a Y. K vyřešení problému je zapotřebí další rovnice.
Bod M patří k přímce, která prochází body P a Q, kterou můžeme vypočítat takto:
První je vektor režiséra PQ přímky: PQ = < -3-2, 2-3, 1-1> = < -5, -1, 0 >.
Později ODPOLEDNE = OP + na PQ, kde OP je polohový vektor bodu P a na je parametr, který patří ke skutečným číslům.
Výše uvedená rovnice je známá jako vektorová rovnice přímky, která má v kartézských souřadnicích následující podobu:
< X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + na < -5, -1, 0> = < 2 - 5a, 3 - a, 0>
Rovníme odpovídající komponenty, které máme:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
To znamená, že X = 4 - 5a, Y = 6 - a, nakonec Z = 1.
Je nahrazen v kvadratickém výrazu, který se týká X až Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Je to zjednodušené:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Nyní se odvíjí:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Je to zjednodušené, ruší se jako podmínky u obou členů:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametr a je vymazán:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, což má za následek a = 1.
To znamená, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, nakonec Z = 1.
Nakonec získáme kartézské souřadnice středu M segmentu [PQ]:
M: (-1, 5, 1).
Zatím žádné komentáře