The matematická naděje nebo očekávaná hodnota náhodná proměnná X, je označen jako E (X) a je definován jako součet součinu mezi pravděpodobností výskytu náhodné události a hodnotou uvedené události.
V matematické formě je vyjádřena takto:
μ = E (X) = ∑ xi. P (xi) = x1.P (x1) + xdva.P (xdva) + x3.P (x3) + ...
Kde xi je hodnota události a P (xi) jeho pravděpodobnost výskytu. Součet se vztahuje na všechny hodnoty, které X připouští. A pokud jsou konečné, konverguje se indikovaný součet k hodnotě E (X), ale pokud se součet nekonverguje, pak proměnná jednoduše nemá očekávanou hodnotu.
Pokud jde o spojitou proměnnou X, proměnná může mít nekonečné hodnoty a součty nahradí integrály:
Zde f (x) představuje funkce hustoty pravděpodobnosti.
Obecně se matematické očekávání (což je vážený průměr) nerovná aritmetickému průměru nebo průměru, pokud se nezabýváme diskrétními distribucemi, ve kterých každá událost je stejně pravděpodobná. Pak a teprve poté:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ xi
Kde n je počet možných hodnot.
Tento koncept je velmi užitečný na finančních trzích a v pojišťovacích společnostech, kde často chybí jistota, ale existují pravděpodobnosti..
Rejstřík článků
Mezi nejdůležitější vlastnosti matematického očekávání patří:
- Podepsat: je-li X kladné, pak bude také E (X).
- Očekávaná hodnota konstanty: očekávaná hodnota skutečné konstanty k je konstanta.
E (k) = k
- Linearita v součtu: očekávání náhodné proměnné, která je zase součtem dvou proměnných X a Y, je součtem očekávání.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Násobení konstantou: pokud má náhodná proměnná tvar kX, kde k je konstanta (reálné číslo), vyjde mimo očekávanou hodnotu.
E (kX) = k E (X)
- Očekávaná hodnota produktu a nezávislost mezi proměnnými: je-li náhodná proměnná součinem náhodných proměnných X a Y, které jsou nezávislé, pak je očekávaná hodnota produktu součinem očekávaných hodnot.
E (X.Y) = E (X) .E (Y)
- Náhodná proměnná formuláře Y = aX + b: nalezeno použitím předchozích vlastností.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
Obecně ano Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xi). P [g (xi)]
- Objednávka na očekávanou hodnotu: pokud X ≤ Y, pak:
E (X) ≤ E (Y)
Protože u každého z nich existují očekávané hodnoty.
Když slavný astronom Christian Huygens (1629-1695) pozoroval oblohu, věnoval se kromě jiných oborů studiu pravděpodobnosti v hazardních hrách. Byl to on, kdo představil koncept matematické naděje ve své práci z roku 1656 s názvem: Odůvodnění hazardu.
Huygens zjistil, že sázky lze klasifikovat třemi způsoby na základě očekávané hodnoty:
-Výhodné hry: E (X)> 0
-Spravedlivé sázky: E (X) = 0
-Handicapová hra: E (X) < 0
Problém je v tom, že ve hře náhody není vždy snadné vypočítat matematické očekávání. A když můžete, výsledek je někdy zklamáním pro ty, kteří si kladou otázku, zda vsadit.
Zkusme jednoduchou sázku: hlavy nebo ocasy a poražený zaplatí $ 1 kávu. Jaká je očekávaná hodnota této sázky?
Pravděpodobnost, že budou hlavy vyhozeny, je ½, což se rovná ocasu. Náhodná proměnná je zisk 1 $ nebo ztráta 1 $, zisk je označen znaménkem + a ztráta znaménkem -.
Informace uspořádáme do tabulky:
Vynásobíme hodnoty sloupců: 1. ½ = ½ a (-1). ½ = -½ a nakonec se přidají výsledky. Součet je 0 a jedná se o férovou hru, ve které se od účastníků očekává, že nevyhrají ani neprohrají.
Francouzská ruleta a loterie jsou handicapové hry, ve kterých většina sázkařů prohrává. Později je v sekci vyřešených cvičení o něco složitější sázka.
Zde je několik jednoduchých příkladů, kde je koncept matematického očekávání intuitivní a objasňuje jej:
Začneme tím, že hodíme čestnou kostku. Jaká je očekávaná hodnota spuštění? Pokud je kostka upřímná a má 6 hlav, pravděpodobnost, že se bude hodit libovolná hodnota (X = 1, 2, 3… 6), je 1/6, například takto:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
Očekávaná hodnota se v tomto případě rovná průměru, protože každá tvář má stejnou pravděpodobnost, že vyjde. Ale E (X) není možná hodnota, protože žádné hlavy nemají hodnotu 3,5. To je v některých distribucích naprosto možné, i když v tomto případě výsledek sázejícímu příliš nepomůže..
Uvidíme další příklad s losováním dvou mincí.
Dvě upřímné mince jsou vyhodeny do vzduchu a náhodnou proměnnou X definujeme jako počet válcovaných hlav. Mohou nastat následující události:
-Žádné hlavy nenastoupí: 0 hlav, což se rovná 2 ocasům.
-Vrátí 1 hlavu a 1 ocas nebo ocasy.
-2 tváře vyjdou.
Nechť C je hlava a T pečeť, ukázkový prostor, který popisuje tyto události, je následující:
Sm = Seal-Seal; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face = TT, TC, CT, CC
Pravděpodobnosti těchto událostí jsou:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
Tabulka je sestavena ze získaných hodnot:
Podle definice uvedené na začátku se matematické očekávání počítá jako:
μ = E (X) = ∑ xi. P (xi) = x1.P (x1) + xdva.P (xdva) + x3.P (x3) + ...
Nahrazení hodnot:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Tento výsledek je interpretován následovně: pokud má člověk dostatek času na to, aby provedl velké množství experimentů otočením dvou mincí, očekává se, že při každém otočení dostane hlavu..
Víme však, že vydání se 2 štítky jsou naprosto možná..
Při losování dvou poctivých mincí dojde k následující sázce: pokud vyjdou 2 hlavy, vyhraje se 3 $, pokud vyjde 1 hlava, vyhraje se 1 $, ale pokud vyjdou dvě známky, musí být zaplaceno 5 $. Vypočítejte očekávanou výhru sázky.
Náhodná proměnná X jsou hodnoty, které peníze sázejí, a pravděpodobnosti byly vypočítány v předchozím příkladu, proto je tabulka sázky:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Protože očekávaná hodnota je 0, jedná se o férovou hru, takže zde se od sázejícího očekává, že nevyhraje ani neprohraje. Sázky však mohou být změněny, aby se sázka stala handicapovou hrou nebo hendikepovou hrou..
Zatím žádné komentáře