The logaritmická funkce je matematický vztah, který spojuje každé kladné reálné číslo X s jeho logaritmem Y na základně na. Tato relace splňuje požadavky, aby mohla být funkcí: každý prvek x patřící do domény má jedinečný obrázek.
Proto:
f (x) = y = logna X , s> 0 a odlišné od 1.
Hlavní vlastnosti logaritmické funkce jsou:
-Jeho doménou jsou všechny reálné oblasti větší než 0, bez 0. Jinými slovy, v žádné základně neexistuje žádný logaritmus 0 nebo záporná čísla. V intervalové formě:
slunce F = (0, ∞ +)
-Logaritmus čísla může být záporný, kladný nebo 0, takže jeho rozsah nebo rozsah je:
Rgo F = (-∞, ∞ +)
-Logaritmická funkce se vždy zvyšuje pro a> 1 a klesá pro a<1.
-Inverzní z f (x) = logna X je exponenciální funkce.
Ve skutečnosti je logaritmická funkce založená na inverzní funkci potenciální funkce:
F-1(x) = aY
Od logaritmu v základně na čísla X, Je to číslo Y ke kterému by měla být zvednuta základna na dostat X.
-Logaritmus základny je vždy 1. Graf tedy f (x) = logna X vždy protíná osu x v bodě (1,0)
-Logaritmická funkce je transcendentní a nelze jej vyjádřit jako polynom nebo jako jejich podíl. Kromě logaritmu zahrnuje tato skupina mimo jiné trigonometrické a exponenciální funkce.
Rejstřík článků
Logaritmická funkce může být stanovena různými základnami, ale nejpoužívanější jsou 10 a a, kde a je Eulerovo číslo rovné 2,71828 ... .
Když se použije základna 10, logaritmus se nazývá dekadický logaritmus, vulgární logaritmus, Briggs nebo prostý logaritmus.
A pokud se použije číslo e, pak mu skotský matematik John Napier, který logaritmy objevil, nazývá přirozený logaritmus..
Notace použitá pro každou z nich je následující:
-Desetinný logaritmus: log10 x = log x
-Přirozený logaritmus: ln x
Pokud má být použita jiná základna, je naprosto nezbytné ji označit jako dolní index, protože logaritmus každého čísla se liší v závislosti na použité základně. Například pokud jde o logaritmy v základně 2, napište:
y = logdva X
Podívejme se na logaritmus čísla 10 ve třech různých základnách, pro ilustraci tohoto bodu:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
logdva 10 = 3,32193
Běžné kalkulačky přinášejí pouze dekadické logaritmy (funkce log) a přirozený logaritmus (funkce ln). Na internetu existují kalkulačky s jinými základnami. V každém případě si čtenář může pomocí své pomoci ověřit, že výše uvedené hodnoty jsou pravdivé:
101 = 10
a2,3026 = 10 0001
dva3,32193 = 10,0000
Malé desítkové rozdíly jsou způsobeny počtem desetinných míst zabraným při výpočtu logaritmu.
Mezi výhody používání logaritmů patří snadnost, kterou poskytují při práci s velkými čísly, přičemž místo čísla přímo používají svůj logaritmus.
To je možné, protože funkce logaritmu roste pomaleji, jak se čísla zvětšují, jak vidíme na grafu.
Takže i při velmi velkém počtu jsou jejich logaritmy mnohem menší a manipulace s malými čísly je vždy snazší..
Logaritmy mají dále následující vlastnosti:
-Produkt: log (a.b) = log a + log b
-Kvocient: log (a / b) = log a - log b
-Napájení: přihlásit ab = b.log a
A tímto způsobem se produkty a kvocienty stávají sčítáním a odčítáním menších čísel, zatímco potenciace se stává jednoduchým produktem, i když je síla vysoká..
Proto nám logaritmy umožňují vyjádřit čísla, která se mění ve velmi velkém rozsahu hodnot, jako je intenzita zvuku, pH roztoku, jas hvězd, elektrický odpor a intenzita zemětřesení na Richterově stupnici..
Podívejme se na příklad zpracování vlastností logaritmů:
Najděte hodnotu x v následujícím výrazu:
log (5x +1) = 1 + log (2x-1)
Máme zde logaritmickou rovnici, protože neznámá je v argumentu logaritmu. Řeší se to ponecháním jediného logaritmu na každé straně rovnosti.
Začneme umístěním všech výrazů, které obsahují „x“ nalevo od rovnosti, a těch, které obsahují pouze čísla, doprava:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Vlevo máme odečtení dvou logaritmů, které lze zapsat jako logaritmus kvocientu:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1
Napravo je však číslo 1, které můžeme vyjádřit jako log 10, jak jsme viděli dříve. Pak:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10
Aby byla rovnost naplněna, argumenty logaritmů se musí rovnat:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
V roce 1957 došlo v Mexiku k zemětřesení, jehož velikost byla 7,7 stupně Richterovy stupnice. V roce 1960 došlo v Chile k dalšímu zemětřesení o síle 9,5 stupně.
Vypočítejte, kolikrát bylo zemětřesení v Chile intenzivnější než v Mexiku, s vědomím, že velikost MR na Richterově stupnici je to dáno vzorcem:
MR = log (104 Já)
Velikost na Richterově stupnici zemětřesení je logaritmická funkce. Budeme počítat intenzitu každého zemětřesení, protože máme Richterovy veličiny. Udělejme to krok za krokem:
-Mexiko: 7.7 = log (104 Já)
Protože inverzní funkce logaritmu je exponenciální, použijeme to na obě strany rovnosti se záměrem řešení pro I, které se nachází v argumentu logaritmu.
Protože se jedná o desítková logaritmy, základ je 10. Pak:
10 7.7 = 104 Já
Intenzita zemětřesení v Mexiku byla:
JáM = 10 7.7 / 104 = 103.7
-chili: 9,5 = log (104 Já)
Stejný postup nás zavede k intenzitě chilského zemětřesení I.Ch:
JáCh = 10 9.5 / 104 = 105.5
Nyní můžeme porovnat obě intenzity:
JáCh / JáM = 105.5 / 103.7 = 101.8 = 63,1
JáCh = 63,1. JáM
Zemětřesení v Chile bylo asi 63krát intenzivnější než v Mexiku. Vzhledem k tomu, že velikost je logaritmická, roste pomaleji než intenzita, takže rozdíl velikosti 1 znamená 10krát větší amplitudu seismické vlny.
Rozdíl mezi velikostmi obou zemětřesení je 1,8, proto bychom mohli očekávat rozdíl v intenzitách blíže 100 než 10, jak se ve skutečnosti stalo..
Ve skutečnosti, kdyby rozdíl byl přesně 2, chilské zemětřesení by bylo stokrát intenzivnější než mexické..
Zatím žádné komentáře