The trigonometrické funkce reálné proměnné odpovídá jakémukoli úhlu (vyjádřenému v radiánech), což je trigonometrický poměr, který může být sinus, kosinus, tangens, kotangens, secan a kosekans.
Tímto způsobem máme šest trigonometrických funkcí: sinus, kosinus, tangens, kosekans, secan a kotangens..
Trigonometrické funkce pro úhly mezi 0 a 2π jsou definovány pomocí jednotkové kružnice s poloměrem 1 a jehož střed se shoduje se středem počátku kartézského souřadného systému: bod (0,0).
Můžeme lokalizovat libovolný bod P souřadnic (x, y) na tomto obvodu.
Segment, který spojuje počátek s P, spolu s příslušnými segmenty, které spojují projekce P na souřadnicových osách, tvoří pravý trojúhelník, jehož trigonometrické poměry jsou známé jako poměry mezi stranami trojúhelníku. A) Ano:
A nyní důvody, které jsou inverzní k těm předchozím:
V kruhové jednotce je přepona libovolného trojúhelníku rovna 1 a nohy mají hodnotu x a y, takže:
sin θ = y
cos θ = x
Tímto způsobem funkce sinus a kosinus vždy získávají hodnoty mezi -1 a 1, zatímco zbytek:
tg θ = y / x
cosec θ = 1 / r
sec θ = 1 / x
Nejsou definovány kdy X nebo Y v hodnotě 0.
Rejstřík článků
Jak uvidíme níže, trigonometrické funkce jsou charakterizovány tím, že jsou periodické. Proto nejsou bijektivní, s výjimkou domény s omezením..
Počínaje trigonometrickou kružnicí v bodě P (1,0) je úhel 0 radiánů. Poté se poloměr otáčí proti směru hodinových ručiček a funkce sin x postupně roste, dokud nedosáhne π / 2 radiánů (90 °), což odpovídá přibližně 1571 radiánům..
Tam dosáhne hodnoty y = 1 a poté klesá, dokud nedosáhne nuly v π radiánech (180 °). Později klesá ještě více, protože hodnota se stává zápornou, dokud nedosáhne -1, když je úhel 3 radiány / 2 radiány (270 °).
Nakonec se opět zvyšuje, dokud se nevrátí na nulu o 360 °, kde vše začíná znovu. To dělá y = sin x a periodická funkce období 2π, proto sinusová funkce není bijektivní.
Graf je také symetrický vzhledem k bodu (0,0), proto je funkce lichá.
Pak graf y = sin x:
Část v červené barvě je první období. Zvažují se také záporné úhly, protože poloměr trigonometrické kružnice se může otáčet ve směru hodinových ručiček.
Doména hříchu x = Všechny skutečnosti.
Dosah nebo cesta hříchu x = [-1,1]
V bodě P (1,0) má kosinová funkce hodnotu 1 a odtud se snižuje a dosahuje 0, když je úhel π / 2. Pokračuje v klesání a nabývá záporných hodnot, dokud nedosáhne -1 pod úhlem π.
Poté se začne postupně zvyšovat, dokud nedosáhne 0 v 3π / 2 a vrátí se na hodnotu 1, když poloměr provede jednu úplnou otáčku. Odtamtud se cyklus opakuje, protože cos x je periodický a je také sudý (symetrický kolem svislé osy).
Forma kosinové funkce je stejná jako forma sinusové funkce, kromě toho, že jsou navzájem posunuty π / 2..
Doména cos x = Všechny skutečnosti.
Protože rozsah x nebo cestování = [-1,1]
Funkce tg x, ctg x, sec x a cosec x jsou nespojité, protože jsou to kvocienty mezi sinusem a kosinusem, nebo inverzní. Vzhledem k tomu, že v některých úhlech mají hodnotu 0, způsobí, že když se objeví ve jmenovateli, bude funkce diskontinuální.
A protože sine a kosinus jsou periodické funkce, jsou funkce tg x, ctg x, sec x, cosec x také periodické..
Pro tangenciální funkci jsou hodnoty diskontinuity: ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… Tam funkce nabývá velmi velkých nebo velmi malých hodnot. Obecně se to děje pro všechny násobky π formy (2n + 1) π / 2, pozitivní i negativní, s n = 0, 1, 2 ...
Proto:
Tg x doména: D = x ∈ R / x ≠ (2n + 1) n / 2; n ∈ Z
Dosah Tg x nebo cestování: Všechno skutečné.
Všimněte si, že funkce f (x) = tg x se opakuje mezi - π / 2 a + π / 2, proto je její perioda π. Kromě toho je symetrický s ohledem na původ.
U této funkce se hodnoty diskontinuity vyskytují při 0, ± π, ± 2π…, tj. Celočíselných násobcích π.
Stejně jako tangenciální funkce je kotangensová funkce periodická periody π. Pro ni platí, že:
Ctg x doména: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z
Ctg x rozsah nebo cestování: Všechno skutečné.
Funkce sec x má body diskontinuity na ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2…, kde cos x = 0. Je také periodická s periodou π a také z grafu vyplývá, že funkce nikdy nezabere hodnoty v intervalu (-1,1)
Doména sec x: D = x ∈ R / x ≠ (2n + 1) n / 2; n ∈ Z
Sec x range nebo travel: Všechny reals kromě (-1,1)
Je to podobné jako sečená funkce, i když je posunuta doprava, proto jsou body diskontinuity 0, ± π, ± 2π a všechny celočíselné násobky π. Je to také periodické.
Doména Cosec X: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z
Rozsah nebo cesta sklizně x: Všechny reals kromě (-1,1)
6 stop vysoký muž vrhá stín S, jehož délka je dána:
S (t) = 6 │cot (π.t / 12) │
S S ve stopách at počet hodin od 6:00. Jak vysoký je stín v 8:00, 12:00, 14:00 a 17:45?
Musíme vyhodnotit funkci pro každou z daných hodnot, všimněte si, že musí mít absolutní hodnotu, protože délka stínu je kladná:
-V 8 hodin ráno uplynuly 2 hodiny od 6 hodin ráno, proto t = 2 a S (t) je:
S (2) = 6 │cot (π.2 / 12) │ft = 6 │cot (π / 6) │ft = 10,39 stop.
-Když je 12 N, uplynulo t = 6 hodin, proto:
S (6) = 6 │cot (π.6 / 12) │ft = 6 │cot (π / 2) │ft = 0 stop. (V té době slunce dopadá svisle na hlavu člověka).
-Ve 14:00 uběhlo t = 8 hodin:
S (8) = 6 │cot (π.8 / 12) │ft = 6 │cot (2π / 3) │ft = 3,46 stop.
-Když je 17:45, od 6:00 už uplynulo 11,75 hodin, takže:
S (11,75) = 6 │cot (π x 11,75 / 12) │ stop = 91,54 stop. V tuto hodinu se stíny prodlužují.
Dokáže čtenář vypočítat čas, kdy se stín člověka rovná jeho výšce??
Zatím žádné komentáře