The booleovská algebra o Booleova algebra je algebraická notace používaná k léčbě binárních proměnných. Pokrývá studie jakékoli proměnné, která má pouze 2 možné výsledky, doplňkové a vzájemně se vylučující. Například proměnné, jejichž jediná možnost je pravdivá nebo nepravdivá, správná nebo nesprávná, zapnutá nebo vypnutá, jsou základem studia booleovské algebry..
Booleova algebra tvoří základ digitální elektroniky, díky čemuž je dnes docela přítomná. Řídí se konceptem logických bran, kde jsou zejména ovlivněny operace známé v tradiční algebře.
Rejstřík článků
Booleovskou algebru představil v roce 1854 anglický matematik George Boole (1815 - 1864), který byl v té době samouk. Jeho znepokojení vyvstalo ze stávajícího sporu mezi Augustem De Morganem a Williamem Hamiltonem o parametry, které definují tento logický systém.
George Boole tvrdil, že definice číselných hodnot 0 a 1 odpovídá v oblasti logiky interpretaci Nic a vesmír resp.
Záměrem George Boole bylo definovat prostřednictvím vlastností algebry výrazy výrokové logiky nezbytné pro řešení proměnných binárního typu.
V roce 1854 byly nejdůležitější části booleovské algebry publikovány v knize „Vyšetřování zákonů myšlení, na nichž jsou založeny matematické teorie logiky a pravděpodobnosti “.
Tento kuriózní název by se dal shrnout později jako „Zákony myšlení “. Titul se proslavil díky okamžité pozornosti, kterou získal od matematické komunity té doby..
V roce 1948 ji Claude Shannon použil při návrhu bistabilních elektrických spínacích obvodů. To sloužilo jako úvod do aplikace booleovské algebry v celém elektronicko-digitálním schématu..
Základní hodnoty v tomto typu algebry jsou 0 a 1, což odpovídá FALSE a TRUE. Základní operace v booleovské algebře jsou 3:
- AND operace nebo spojení. Představuje tečka (.). Synonymum produktu.
- NEBO provoz nebo disjunkce. Znázorněno křížkem (+). Synonymum součtu.
- NENÍ operace nebo negace. Představuje předponu NOT (NOT A). Také známý jako doplněk.
Pokud jsou v množině A 2 definovány zákony vnitřního složení označované jako součin a součet (. +), Říká se, že trojnásobek (A. +) je booleovská algebra právě tehdy, když splňuje podmínku bytí mřížkovou distribucí..
Chcete-li definovat distribuční mřížku, musí být splněny podmínky distribuce mezi danými operacemi:
. je distribuční s ohledem na částku + do. (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ je distribuční s ohledem na produkt. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Prvky, které tvoří množinu A, musí být binární, tedy s hodnotami vesmír nebo prázdnota.
Jeho hlavním scénářem aplikace je digitální větev, kde slouží ke strukturování obvodů, které tvoří logické operace. Umění jednoduchosti obvodů za účelem optimalizace procesů je výsledkem správné aplikace a praxe booleovské algebry..
Od vývoje elektrických panelů, přes přenos dat až po programování v různých jazycích, můžeme často najít booleovskou algebru ve všech druzích digitálních aplikací..
Booleovské proměnné jsou ve struktuře programování velmi běžné. V závislosti na použitém programovacím jazyce budou v kódu strukturální operace, které tyto proměnné používají. Podmíněné výrazy a argumenty každého jazyka připouštějí k definování procesů booleovské proměnné.
Existují věty, které řídí strukturální logické zákony booleovské algebry. Stejným způsobem existují postuláty pro poznání možných výsledků v různých kombinacích binárních proměnných v závislosti na provedené operaci..
Operátor NEBO jehož logickým prvkem je unie (U) je definována pro binární proměnné takto:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Operátor A jehož logickým prvkem je průnik (∩) je definován pro binární proměnné takto:
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1. 0 = 0
1. 1 = 1
Operátor NE jehož logickým prvkem je doplněk (X) 'je definován pro binární proměnné takto:
NENÍ 0 = 1
NE 1 = 0
Mnoho z postulátů se liší od svých protějšků v konvenční algebře. To je způsobeno doménou proměnných. Například přidání prvků vesmíru do booleovské algebry (1 + 1) nemůže přinést konvenční výsledek 2, protože nepatří k prvkům binární sady.
Je definována jakákoli jednoduchá operace, která zahrnuje prvek s binárními proměnnými:
0 + A = A
1 + A = 1
0. A = 0
1. A = A
Operace mezi stejnými proměnnými jsou definovány jako:
A + A = A
TO. A = A
Jakákoli operace mezi proměnnou a jejím doplňkem je definována jako:
A + NE A = 1
TO. NENÍ A = 0
Jakákoli dvojitá negace bude považována za přirozenou proměnnou.
NOT (NOT A) = A
A + B = B + A; Komutativita součtu.
TO. B = B. TO; Komutativita produktu.
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Asociativita součtu.
TO. (B.C) = (A.B). C = A. B. C; Asociativita produktu.
A + (B.C) = (A + B). (A + C); Distribuce částky vzhledem k produktu.
TO. (B + C) = (A.B) + (A + C); Distribuce produktu s ohledem na částku.
Existuje mnoho absorpčních zákonů mezi více odkazy, některé z nejznámějších jsou:
TO. (A + B) = A
TO. (NE A + B) = A. B
NOT A (A + B) = NOT A. B
(A + B). (A + NE B) = A
A + A. B = A
A + NE A. B = A + B
NE A + A. B = NENÍ A + B
TO. B + A. NE B = A
Jsou to transformační zákony, které zpracovávají dvojice proměnných, které interagují mezi definovanými operacemi booleovské algebry (+.).
NOT (A. B) = NOT A + NOT B.
NE (A + B) = NE A. NE B
A + B = NE (NE A + NE B)
TO. B = NE (NE A. NE B)
Všechny postuláty a věty mají schopnost duality. To znamená, že výměnou proměnných a operací je ověřena výsledná nabídka. To znamená při výměně 0 za 1 a AND za OR nebo naopak; je vytvořen výraz, který bude také zcela platný.
Například pokud vezmete postulát
1. 0 = 0
A uplatňuje se dualita
0 + 1 = 1
Získá se další dokonale platný postulát.
Mapa Karnaugh je diagram používaný v booleovské algebře ke zjednodušení logických funkcí. Skládá se z dvourozměrného uspořádání podobného pravdivostním tabulkám výrokové logiky. Data z pravdivostních tabulek lze přímo zachytit na mapě Karnaugh.
Mapa Karnaugh může pojmout procesy až 6 proměnných. U funkcí s vyšším počtem proměnných se pro zjednodušení procesu doporučuje použití softwaru.
V roce 1953, který navrhl Maurice Karnaugh, byl založen jako fixní nástroj v oblasti booleovské algebry, protože jeho implementace synchronizuje lidský potenciál s nutností zjednodušit booleovské výrazy, což je klíčový aspekt plynulosti digitálních procesů..
Booleova algebra se používá ke snížení logických bran v obvodu, kde je prioritou přivést složitost nebo úroveň obvodu na co nejnižší výraz. To je způsobeno výpočtovým zpožděním, které každá brána předpokládá.
V následujícím příkladu budeme pozorovat zjednodušení logického výrazu na jeho minimální výraz pomocí vět a postulátů booleovské algebry.
NE (AB + A + B). NE (A + NE B)
NE [A (B + 1) + B]. NE (A + NE B); Faktoring A se společným faktorem.
NE [A (1) + B]. NE (A + NE B); Podle věty A + 1 = 1.
NE (A + B). NE (A + NE B); větou A. 1 = A
(NE A. NE B). [ POZNÁMKA . NE (NE B)];
Podle Morganovy věty NOT (A + B) = NOT A. NE B
(NE A. NE B). (NE A. B); Věta o dvojité negaci NOT (NOT A) = A
POZNÁMKA . NE B. POZNÁMKA . B; Algebraické seskupení.
POZNÁMKA . POZNÁMKA . NE B. B; Komutativita produktu A. B = B. NA
POZNÁMKA . NE B. B; Větou A. A = A
POZNÁMKA . 0; Větou A. NENÍ A = 0
0; Větou A. 0 = 0
TO. B. C + NENÍ A + A. NE B. C
TO. C. (B + NE B) + NE A; Faktoring (A. C) se společným faktorem.
TO. C. (1) + NE A; Podle věty A + NOT A = 1
TO. C + NENÍ A; Pravidlem nulové věty a jednoty 1. A = A
NE A + C ; Podle zákona Morgan A + NOT A. B = A + B
U tohoto řešení musí být Morganův zákon rozšířen tak, aby definoval:
NE (NE). C + NOT A = NOT A + C
Protože NOT (NOT A) = A involucí.
POZNÁMKA . NE B. NE C + NE A. NE B. C + NE A. NE C na jeho minimální výraz
POZNÁMKA . NE B. (NE C + C) + NE A. NE C; Faktoring (NE A. NENÍ B) se společným faktorem
POZNÁMKA . NE B. (1) + NE A. NE C; Podle věty A + NOT A = 1
(NE A. NENÍ B) + (NENÍ A. NENÍ C); Pravidlem nulové věty a jednoty 1. A = A
NE A (NE B + NE C); Factoring NOT A se společným faktorem
POZNÁMKA . NE (B.C); Podle zákonů Morgan NOT (A. B) = NOT A + NOT B.
NE [A + (B. C)] Podle zákonů Morgan NOT (A. B) = NOT A + NOT B.
Kterákoli ze 4 možností tučně představuje možné řešení ke snížení úrovně obvodu
(A. NENÍ B. C + A. NENÍ B. B. D + NENÍ A. NENÍ B). C
(A. NENÍ B. C + A. 0. D + NENÍ A. NENÍ B). C; Větou A. NENÍ A = 0
(A. NENÍ B. C + 0 + NENÍ A. NENÍ B). C; Větou A. 0 = 0
(A. NENÍ B. C + NENÍ A. NENÍ B). C; Podle věty A + 0 = A
TO. NE B. C. C + NE A. NE B. C; Distribucí produktu s ohledem na částku
TO. NE B. C + NE A. NE B. C; Větou A. A = A
NE B. C (A + NE A) ; Faktoring (NE B. C) se společným faktorem
NE B. C (1); Podle věty A + NOT A = 1
NE B. C; Pravidlem nulové věty a jednoty 1. A = A
Zatím žádné komentáře