Moment setrvačných vzorců, rovnic a příkladů výpočtu

The moment setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem k určité ose otáčení, představuje jeho odpor ke změně jeho úhlové rychlosti kolem uvedené osy. Je úměrná hmotnosti a také umístění osy otáčení, protože tělo se podle své geometrie může snadněji otáčet kolem určitých os než v jiných.

Předpokládejme velký objekt (skládající se z mnoha částic), který se může otáčet kolem osy. Předpokládejme, že působí síla F, aplikován tangenciálně na hmotový prvek Δm_i, který produkuje točivý moment nebo moment, daný τ_síť = ∑r_i X F_i. Vektor r_i je pozice Δm_i (viz obrázek 2).

Tento moment je kolmý na rovinu otáčení (směr +k = vycházející z papíru). Protože síla a vektor radiální polohy jsou vždy kolmé, zůstává součin:

τ_síť = ∑ F._i r_i k = ∑ (Δm_i na_i) r_i  k = ∑ Δm_i (na_i r_i ) k

Zrychlení na_i představuje tangenciální složku zrychlení, protože radiální zrychlení nepřispívá k točivému momentu. Jako funkci úhlového zrychlení α můžeme označit, že:

na_i = α r_i

Čistý točivý moment tedy vypadá takto:

τ_síť = ∑ Δm_i (α r_i^dva) k = (∑ r_i^dva Δm_i) α k

Úhlové zrychlení α je stejné pro celý objekt, proto není ovlivněno dolním indexem „i“ a může opustit součet, což je přesně okamžik setrvačnosti objektu symbolizovaný písmenem I:

I = ∑ r_i^dva Δm_i

Toto je moment setrvačnosti diskrétního rozdělení hmoty. Když je rozdělení spojité, součet se nahradí integrálem a Δm se stává hmotnostním rozdílem dm. Integrál se provádí přes celý objekt:

I = ∫_M(r^dva) dm

Jednotky momentu setrvačnosti v mezinárodním systému SI jsou kg x m^dva. Je to skalární a kladná veličina, protože je součinem hmotnosti a čtverce vzdálenosti.

Rejstřík článků

• 1 Příklady výpočtu
  • 1.1 Moment setrvačnosti tenké tyče vzhledem k ose procházející jejím středem
  • 1.2 Moment setrvačnosti disku vzhledem k ose procházející jeho středem
  • 1.3 Moment setrvačnosti pevné koule vzhledem k průměru
  • 1.4 Moment setrvačnosti plného válce vzhledem k osové ose
  • 1.5 Moment setrvačnosti obdélníkového plechu vzhledem k ose procházející jejím středem
  • 1.6 Moment setrvačnosti čtvercového listu vzhledem k ose procházející jeho středem
• 2 Věty o setrvačnosti
  • 2.1 Steinerova věta
  • 2.2 Věta o kolmých osách
• 3 Cvičení vyřešeno
• 4 Odkazy

Příklady výpočtu

Rozšířený objekt, například tyč, disk, koule nebo jiný, jehož hustota ρ je konstantní a s vědomím, že hustota je poměr hmotnost - objem, hmotnostní rozdíl dm se píše jako:

ρ = dm / dV → dm = ρdV

Dosazením integrálu za moment setrvačnosti máme:

I = ∫r^dva ρdV = ρ ∫r^dvadV

Toto je obecný výraz platný pro trojrozměrný objekt, jehož objem PROTI a pozice r jsou funkce prostorových souřadnic X, Y Y z. Všimněte si, že je konstantní, hustota je mimo integrál.

Hustota ρ Je také známá jako objemová hustota, ale pokud je objekt velmi plochý, jako list nebo velmi tenký a úzký jako tyč, lze použít i jiné formy hustoty, podívejme se:

- U velmi tenkého plechu je použitou hustotou σ, povrchová hustota (hmotnost na jednotku plochy) a dává je plošný rozdíl.

- A pokud se jedná o tenkou tyč, kde je relevantní pouze délka, použije se lineární hustota hmoty λ a délkový rozdíl podle osy použité jako reference.

V následujících příkladech jsou všechny objekty považovány za tuhé (nedeformovatelné) a mají jednotnou hustotu.

Moment setrvačnosti tenké tyče vzhledem k ose procházející jejím středem

Zde budeme počítat moment setrvačnosti tenké, tuhé, homogenní tyče délky L a hmotnosti M, vzhledem k ose, která prochází středem.

Nejprve je nutné vytvořit souřadný systém a postavit figuru s příslušnou geometrií, například takto:

The Osa X. podél baru a Osa y jako osa otáčení. Postup pro stanovení integrálu také vyžaduje volbu hmotnostního rozdílu nad barem, tzv dm, který má diferenciální délku dx a nachází se v poloze X libovolný vzhledem ke středu x = 0.

Podle definice lineární hmotnostní hustoty λ:

λ = M / L

Protože hustota je jednotná, což platí pro M a L, platí také pro dm a dx:

λ = dm / dx → dm = λdx.

Na druhé straně je hmotný prvek v poloze X, potom dosazením této geometrie v definici máme určitý integrál, jehož limity jsou konce prutu podle souřadného systému:

Nahrazení lineární hustoty λ = M / L:

Chcete-li zjistit moment setrvačnosti tyče vzhledem k jiné ose otáčení, například té, která prochází jedním z jejích extrémů, můžete použít Steinerovu větu (viz cvičení vyřešené na konci) nebo provést přímý výpočet podobný té zde zobrazené, ale odpovídajícím způsobem upravit geometrii.

Moment setrvačnosti disku vzhledem k ose procházející jeho středem

Velmi tenký disk zanedbatelné tloušťky je plochá postava. Pokud je hmotnost rovnoměrně rozložena po celém povrchu oblasti A, je hmotnostní hustota σ:

σ = M / Y

Tak moc dm Co dává odpovídají hmotnosti a ploše diferenciálního kroužku znázorněného na obrázku. Budeme předpokládat, že se celá sestava otáčí kolem osy y.

Dokážete si představit, že disk se skládá z mnoha soustředných prstenců o poloměru r, každý s příslušným momentem setrvačnosti. Přidávání příspěvků všech prstenů až do dosažení poloměru R, celkový moment setrvačnosti disku bude.

σ = dm / dA → dm = σdává

Kde M představuje celou hmotu disku. Plocha disku závisí na jeho poloměru r jako:

A = π.r^dva

Odvozeno s ohledem na r:

dA / dr = 2 = 2π.r → dA = 2π.rdr

Nahrazení výše uvedeného v definici I:

Nahrazení σ = M / (π.R^dva ) Zůstává:

Moment setrvačnosti pevné koule vzhledem k průměru

Kouli o poloměru R lze považovat za řadu disků naskládaných jeden na druhém, kde každý disk nekonečně malé hmoty dm, rádio r a tloušťka dz, má moment setrvačnosti daný:

dal_disk = (½) r^dvadm

Abychom našli tento rozdíl, jednoduše jsme vzali vzorec z předchozí části a nahradili jej M Y R pro dm Y r, resp. Disk podobný tomuto je vidět na geometrii obrázku 5.

Přidáním všech nekonečně malých momentů setrvačnosti naskládaných disků se získá celkový moment setrvačnosti koule:

Já_koule = ∫dI_disk

Což odpovídá:

I = ∫_koule (½) r^dvadm

K vyřešení integrálu musíte vyjádřit dm správně. Jako vždy se toho dosahuje z hustoty:

ρ = M / V = ​​dm / dV → dm = ρ.dV

Objem rozdílového disku je:

dV = plocha základny x výška

Výška disku je tloušťka dz, zatímco plocha základny je πr^dva, Tím pádem:

dV = πr^dvadz

A dosazením do navrhovaného integrálu by to vypadalo takto:

I = ∫_koule(½) r^dvadm = ∫ (½) r^dva(ρπr^dvadz)

Ale před integrací je třeba poznamenat, že r - poloměr disku - závisí na z a R - poloměr koule -, jak je vidět na obrázku 5. Použití Pythagorovy věty:

R^dva = r^dva + z^dva → r^dva = R.^dva - z^dva

 Což nás vede k:

I = ∫_koule(½) ρ r^dva(πr^dvadz) = ∫_koule(½) ρ π r⁴dz= ∫_koule(½) ρ π (R.^dva - z^dva)^dva dz

Pro integraci v celé sféře si všimneme, že z se pohybuje mezi -R a R, proto:

To vím ρ = M / V = ​​M / [(4/3) πR³] konečně se získá po zjednodušení:

Moment setrvačnosti plného válce vzhledem k osové ose

Pro tento objekt se používá metoda podobná té, která se používá pro kouli, ale tentokrát je jednodušší, když si představujeme, že válec je tvořen válcovými skořápkami o poloměru r, tloušťka dr a výška H, jako by to byly vrstvy cibule.

Hlasitost dV válcové vrstvy je:

dV = 2π.rL.dr

Hmotnost pláště je tedy:

dm = ρ. dV = ρ. 2π.r.L.dr

Tento výraz je nahrazen v definici momentu setrvačnosti:

Výše uvedená rovnice naznačuje, že moment setrvačnosti válce nezávisí na jeho délce, ale pouze na jeho hmotnosti a poloměru. Ano L změněn, moment setrvačnosti kolem osové osy zůstane stejný. Z tohoto důvodu, Já válce se shoduje s dříve vypočítaným tenkým diskem.

Moment setrvačnosti obdélníkového plechu vzhledem k ose procházející jejím středem

The Osa y vodorovná osa otáčení. Obrázek níže ukazuje geometrii potřebnou k provedení integrace:

Červeně označený prvek oblasti je obdélníkový. Jeho plocha je základna x výška, proto:

dA = a.dz

Hmotový rozdíl je tedy:

dm = σ. dA = σ. (a.dz)

Pokud jde o vzdálenost od plošného prvku k ose otáčení, vždy je z. To vše dosadíme do integrálu momentu setrvačnosti:

Nyní je povrchová hmotnostní hustota σ nahrazena:

σ = M / ab

A rozhodně to vypadá takto:

Všimněte si, že je to jako tenká lišta.

Moment setrvačnosti čtvercového listu vzhledem k ose procházející jeho středem

Pro postranní čtverec L, v předchozím výrazu platném pro obdélník jednoduše nahraďte hodnotu b za to L:

Okamžiky setrvačných vět

Existují dvě věty, které jsou zvláště užitečné pro zjednodušení výpočtu momentů setrvačnosti kolem ostatních os, které by jinak bylo obtížné najít kvůli nedostatku symetrie. Tyto věty jsou:

Steinerova věta

Také zvaný věta o paralelních osách, Vztahuje se moment setrvačnosti vzhledem k ose s jinou, která prochází středem hmoty objektu, pokud jsou osy rovnoběžné. K jeho aplikaci je nutné znát vzdálenost D mezi oběma osami a samozřejmě hmotnost M objektu.

Být Já_z okamžik setrvačnosti rozšířeného objektu vzhledem k osa z, já_CM moment setrvačnosti vzhledem k ose, která prochází těžištěm (CM) uvedeného objektu, pak platí, že:

Já_z = Já_CM + MD^dva

Nebo v zápisu na následujícím obrázku: Já_{z '} = Já_z + Md^dva

Věta o kolmých osách

Tato věta se aplikuje na rovné povrchy a vypadá takto: moment setrvačnosti rovinného objektu kolem osy kolmé na něj je součtem momentů setrvačnosti kolem dvou os kolmých na první osu:

Já_z = Já_X + Já_Y

Pokud má objekt symetrii takovou Já_X a Já_Y jsou si rovni, pak je pravda, že:

Já_z = 2I_X

Cvičení vyřešeno

Najděte moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose, která prochází jedním z jejích konců, jak je znázorněno na obrázku 1 (dole a vpravo) a obrázku 10.

Řešení:

Již máme moment setrvačnosti tyče kolem osy, která prochází jejím geometrickým středem. Jelikož je tyč homogenní, její těžiště je v tomto bodě, takže toto bude naše Já_CM aplikovat Steinerovu větu.

Pokud je délka lišty L, osa z je ve vzdálenosti D = L / 2, proto:

Já_z = Já_CM + MD^dva= (1/12) ML^dva+M (L / 2)^dva= (1/3) ML^dva

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pro inženýrství a vědy. Svazek 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson. 190-200.
3. Věta o paralelní ose. Obnoveno z: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fyzika pro vědu a inženýrství. Svazek 1. Cengage.
5. Sevillská univerzita. Moment setrvačnosti sférických pevných látek. Obnoveno z: laplace.us.es.
6. Sevillská univerzita. Moment setrvačnosti částicového systému. Obnoveno z: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Věta o paralelní ose. Obnoveno z: en.wikipedia.org