The Eulerova metoda je nejzákladnější a nejjednodušší z postupů používaných k nalezení přibližného numerického řešení běžné diferenciální rovnice prvního řádu za předpokladu, že je známa její počáteční podmínka.
Obyčejná diferenciální rovnice (ODE) je rovnice, která spojuje neznámou funkci jedné nezávislé proměnné s jejími deriváty.
Pokud je největší derivací, která se v rovnici objevuje, první stupeň, pak se jedná o obyčejnou diferenciální rovnici prvního stupně.
Nejobecnějším způsobem, jak napsat rovnici prvního stupně, je:
x = x0
y = y0
Rejstřík článků
Myšlenkou Eulerovy metody je najít numerické řešení diferenciální rovnice v intervalu mezi X0 a XF .
Nejprve je interval diskretizován v n + 1 bodech:
X0, X1, Xdva, X3..., Xn
Které se získávají takto:
Xi= x0+ih
Kde h je šířka nebo krok podintervalů:
S počáteční podmínkou je také možné znát derivaci na začátku:
y '(xnebo) = f (x.)nebo, Ynebo)
Tato derivace představuje sklon tečny ke křivce funkce y (x) přesně v bodě:
Ao = (xnebo, Ynebo)
Pak se v následujícím bodě provede přibližná predikce hodnoty funkce y (x):
y (x1) ≈ a1
Y1 = Ynebo +(X1- Xnebo) f (x.)nebo, Ynebo) = anebo + h f (xnebo, Ynebo)
Poté byl získán další přibližný bod řešení, který by odpovídal:
NA1 = (x1, Y1)
Postup se opakuje, aby se získaly po sobě jdoucí body
NAdva, NA3..., Xn
Na obrázku zobrazeném na začátku představuje modrá křivka přesné řešení diferenciální rovnice a červená představuje po sobě jdoucí přibližné body získané Eulerovou procedurou.
Já) Nechť je diferenciální rovnice:
S počáteční podmínkou x = a = 0; Yna= 1
Pomocí Eulerovy metody získáte přibližné řešení Y v souřadnici X = b = 0,5, rozdělením intervalu [a, b] na n = 5 částí.
Číselné výsledky jsou shrnuty takto:
Odkud se vyvozuje, že řešení Y pro hodnotu 0,5 je 1,4851.
Poznámka: k provedení výpočtů, Smath studio, zdarma používat bezplatný program.
II) Pokračováním diferenciální rovnice z cvičení I) najděte přesné řešení a porovnejte jej s výsledkem získaným Eulerovou metodou. Najděte chybu nebo rozdíl mezi přesným a přibližným výsledkem.
Přesné řešení není těžké najít. Je známo, že derivace funkce sin (x) je funkce cos (x). Řešení y (x) tedy bude:
y (x) = sin x + C
Aby byla splněna počáteční podmínka a (0) = 1, musí být konstanta C rovna 1. Přesný výsledek se poté porovná s přibližnou:
Byl vyvozen závěr, že ve vypočítaném intervalu má aproximace tři významné číslice přesnosti.
III) Zvažte diferenciální rovnici a její počáteční podmínky uvedené níže:
y '(x) = - ydva
S počáteční podmínkou x0 = 0; Y0 = 1
K nalezení přibližných hodnot řešení použijte Eulerovu metodu y (x) v intervalu x = [0, 1,5]. Použijte krok h = 0,1.
Eulerova metoda je velmi vhodná pro použití s tabulkovým procesorem. V tomto případě použijeme tabulku z geogebra, bezplatný a zdarma použitelný program.
Tabulka na obrázku ukazuje tři sloupce (A, B, C), první je proměnná X , druhý sloupec představuje proměnnou Y, a třetí sloupec derivát Y '.
Řádek 2 obsahuje počáteční hodnoty X, Y, Y ' .
Hodnotový krok 0,1 byl umístěn do buňky absolutní polohy ($ D $ 4).
Počáteční hodnota y0 je v buňce B2 a y1 je v buňce B3. Pro výpočet y1 je použit vzorec:
Y1 = Ynebo +(X1- Xnebo) f (x.)nebo, Ynebo) = anebo + h f (xnebo, Ynebo)
Tento tabulkový vzorec by měl být číslo B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.
Podobně y2 by byl v buňce B4 a jeho vzorec je uveden na následujícím obrázku:
Obrázek také ukazuje graf přesného řešení a body A, B,…, P přibližného řešení Eulerovou metodou.
Klasickou dynamiku vyvinul Isaac Newton (1643 - 1727). Původní motivací Leonarda Eulera (1707 - 1783) vyvinout jeho metodu bylo právě řešení rovnice druhého Newtonova zákona v různých fyzikálních situacích.
Newtonův druhý zákon je obvykle vyjádřen jako diferenciální rovnice druhého stupně:
Kde X představuje pozici objektu v daném okamžiku t. Uvedený objekt má hmotu m a je vystaven síle F. Funkce F souvisí se silou a hmotou takto:
K použití Eulerovy metody jsou nutné počáteční hodnoty času t, rychlost proti a pozice X.
Následující tabulka vysvětluje, jak lze od počátečních hodnot t1, v1, x1 získat aproximaci rychlosti v2 a polohy x2 v okamžiku t2 = t1 + Δt, kde Δt představuje malý nárůst a odpovídá kroku v Eulerově metodě.
IV) Jedním ze základních problémů v mechanice je problém bloku hmoty M vázaného na pružinu (nebo pružinu) pružné konstanty K.
Newtonův druhý zákon pro tento problém by vypadal takto:
V tomto příkladu si pro jednoduchost vezmeme M = 1 a K = 1. Najděte přibližné řešení polohy X a rychlost proti Eulerovou metodou na časovém intervalu [0, π / 2] rozdělením intervalu na 12 částí.
Vezměte 0 jako počáteční okamžik, počáteční rychlost 0 a počáteční polohu 1.
Číselné výsledky jsou uvedeny v následující tabulce:
Jsou také zobrazeny grafy polohy a rychlosti mezi okamžiky 0 a 1,44..
Pomocí tabulky určete přibližné řešení pomocí Eulerovy metody pro diferenciální rovnici:
y '= - Exp (-y) s počátečními podmínkami x = 0, y = -1 v intervalu x = [0, 1]
Začněte krokem 0,1. Výsledek vykreslete.
Pomocí tabulky najděte numerická řešení následující kvadratické rovnice, kde y je funkcí nezávislé proměnné t.
y "= - 1 / y² s počáteční podmínkou t = 0; y (0) = 0,5; y '(0) = 0
Najděte řešení v intervalu [0,5; 1,0] s použitím kroku 0,05.
Vyneste výsledek: y vs t; y 'vs t
Zatím žádné komentáře